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2019年高中数学第二章推理与证明双基限时练17(含解析)新人教A版选修2-21.在△ABC中,“·0”是“△ABC为锐角三角形”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由A·A0⇒∠A为锐角,而角B,C并不能判定,反之若△ABC为锐角三角形,一定有A·A
0.答案 B2.已知函数y=sin2x+φ的图象关于直线x=对称,则φ可能是 A.B.-C.D.π解析 由题意知,sin+φ=±1,∴当φ=时,sin+=sin=
1.答案 C3.已知a,b,c是三条互不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,给出四个命题
①a∥b,b∥α,则a∥α;
②a,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥β;
③a⊥α,a∥β,则α⊥β;
④a⊥α,b∥α,则a⊥b.其中正确命题的个数是 A.1B.2C.3D.4解析
①因为a∥b,b∥α⇒a∥α,或a⊂α,所以
①不正确.
②因为a,b⊂α,a∥β,b∥β,当a与b相交时,才能α∥β,所以
②不正确.
③a∥β,过a作一平面γ,设γ∩β=c,则c∥a,又a⊥α⇒c⊥α⇒α⊥β,所以
③正确.
④a⊥α,b∥α⇒a⊥b,所以
④正确.综上知
③,
④正确.答案 B4.a0,b0,则下列不等式中不成立的是 A.a+b+≥2B.a+b+≥4C.≥a+bD.≥解析 特殊值法,取a=1,b=4,则D不成立.答案 D5.设a0,b0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为 A.8B.4C.1D.解析 ∵a0,b03a·3b=2,∴a+b=1,∴+=+=1+++1≥2+2=
4.答案 B6.p=+,q=·,m,n,a,b,c,d均为正数,则p与q的大小关系为________.解析 ∵p2=ab+cd+2,q2=ma+nc+=ab+++cd≥ab+cd+
2.∴q2≥p2,∴p≤q.答案 p≤q7.当x∈12时,不等式x2+mx+40恒成立,则m的取值范围是________.解析 ∵x2+mx+40⇔m-x-,∵y=-x+在12上单调递增,∴-x+∈-5,-4,∴m≤-
5.答案 m≤-58.若不等式-1na2+对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是________.解析 当n为偶数时,a2-≤2-=;当n为奇数时,-a2+,a-2-,而-2--2,∴a≥-
2.综上知-2≤a.答案 9.求证ac+bd≤·.证明 1当ac+bd0时,ac+bd≤·显然成立.2当ac+bd≥0时,要证ac+bd≤·成立,只需证ac+bd2≤a2+b2c2+d2成立,只需证2abcd≤a2d2+b2c2,只需证ad-bc2≥0成立.而ad-bc2≥0显然成立.∴ac+bd≤·成立.综上所述ac+bd≤·成立.10.在△ABC中,若a2=bb+c,求证A=2B.证明 ∵a2=bb+c,∴a2=b2+bc.由余弦定理得cosA===.又∵cos2B=2cos2B-1=22-1=22-1===,∴cosA=cos2B.又∵A,B是三角形的内角,∴A=2B.11.如下图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证1EF∥平面ABC;2平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明 1由E,F分别是A1B,A1C的中点知,EF∥BC,∵EF⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,∴EF∥平面ABC.2由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知,CC1⊥平面A1B1C1,又A1D⊂平面A1B1C1,∴A1D⊥CC1,又A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,又CC1,B1C⊂平面BB1C1C,∴A1D⊥平面BB1C1C,又A1D⊂平面A1FD,∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.12.如图,已知椭圆+=1ab0的左、右焦点分别为F1,F2,A在椭圆上,满足AF2⊥F1F2,原点O到直线AF1的距离为|OF2|.求证a=b.证明 设F1-c0,F2c0,则|OF2|=c.设Ax0,y0,∵AF2⊥F1F2,∴x0=c.∵点Ax0,y0在椭圆上,∴+=
1.解得y0=±.∴|AF2|=.由椭圆的定义,得|AF1|=2a-|AF2|=2a-=.在Rt△AF2F1中,O是F1F2的中点,∴O到AF1的距离为d=·=·==|OF2|=c.∴3b2=2a2-b2,即a2=2b
2.∴a=b.。