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2019年高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合检测新人教A版选修4-5
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知a、b、c、d都是正数,且bc>ad,则,,,中最大的是 A. B.C.D.【解析】 因为a,b,c,d均是正数且bc>ad,所以有>.
①又-==>0,∴>,
②-==>0,∴>.
③由
①②③知最大,故选D.【答案】 D2.xx·商丘模拟已知x>y>z,且x+y+z=1,则下列不等式中恒成立的是 A.xy>yzB.xz>yzC.x|y|>z|y|D.xy>xz【解析】 法一 特殊化法令x=2,y=0,z=-1,可排除A、B、C,故选D.法二 3z<x+y+z<3x,∴x>>z,由x>0,y>z得xy>xz.故D正确.【答案】 D3.对于x∈
[01]的任意值,不等式ax+2b>0恒成立,则代数式a+3b的值 A.恒为正值B.恒为非负值C.恒为负值D.不确定【解析】 依题意2b>0,∴b>0且a+2b>0,∴a+2b+b>0,即a+3b恒为正值.【答案】 A4.已知数列{an}的通项公式an=,其中a,b均为正数,那么an与an+1的大小关系是 A.an>an+1B.an<an+1C.an=an+1D.与n的取值有关【解析】 an+1-an=-=∵a>0,b>0,n>0,n∈N*.∴an+1-an>0,因此an+1>an.【答案】 B5.否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时,正确的反设为 A.a、b、c都是奇数B.a、b、c都是偶数C.a、b、c中至少有两个偶数D.a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数【解析】 因为自然数a,b,c中可能有全为奇数、二奇一偶、一奇二偶、全为偶数,共4种情况,故应选D.【答案】 D6.设a=lg2-lg5,b=exx<0,则a与b的大小关系是 A.a<bB.a>bC.a=bD.a≤b【解析】 a=lg2-lg5=lg<
0.又x<0,知0<ex<1,即0<b<1,∴a<b.【答案】 A7.xx·山东高考改编若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k= A.B.2C.6D.2或6【解析】 ∵|kx-4|≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6,∵不等式的解集为{x|1≤x≤3},∴k=
2.【答案】 B8.设a=x4+y4,b=x3y+xy3,c=2x2y2x,y∈R+,则下列结论中不正确的是 A.a最大B.b最小C.c最小D.a,b,c可以相等【解析】 因为b=x3y+xy3≥2=2x2y2=c,故B错,应选B.【答案】 B9.要使-<成立,a、b应满足的条件是 A.ab<0且a>bB.ab>0且a>bC.ab<0且a<bD.ab>0且a>b或ab<0且a<b【解析】 -<⇔-3<a-b.⇔3<3⇔aba-b>
0.当ab>0时,a>b;当ab<0时,a<b.【答案】 D10.已知x=a+a>2,y=b2-2b<0,则x,y之间的大小关系是 A.x>yB.x<yC.x=yD.不能确定【解析】 因为x=a-2++2≥2+2=4a>2.又b2-2>-2b<0,即y=b2-2<-2=4,所以x>y.【答案】 A11.xx·开封模拟已知a、b为非零实数,则使不等式+≤-2成立的一个充分而不必要条件是 A.ab>0B.ab<0C.a<0,b<0D.a>0,b<0【解析】 因ab<0⇔+≤-2,∴a>0,b<0是+≤-2的充分不必要条件.【答案】 D12.在△ABC中,A,B,C分别为a,b,c所对的角,且a,b,c成等差数列,则角B适合的条件是 A.0<B≤B.0<B≤C.0<B≤D.<B<π【解析】 由a,b,c成等差数列,得2b=a+c.∴cosB==,==-≥.当且仅当a=b=c时,等号成立.∴cosB的最小值为.又y=cosB,在0,上是减函数,∴0<B≤.【答案】 B
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中横线上13.用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的假设是________.【解析】 “三角形中最多只有一个内角是钝角”的对立事件是“三角形中内角有2个钝角或3个全是钝角”故应填三角形中至少有两个内角是钝角.【答案】 三角形中至少有两个内角是钝角14.已知a,b∈R+,则x=abba,y=aabb的大小关系是________.【解析】 ==ab-a·ba-b=b-a,若a≥b,则≥1,而b-a≤0,∴≤
1.若a<b,则<1,而b-a>0,∴<
1.综上,y≥x.【答案】 y≥x15.用分析法证明若a,b,m都是正数,且a<b,则>.完成下列证明过程.∵b+m>0,b>0,∴要证原不等式成立,只需证明ba+m>ab+m,即只需证明________.∵m>0,∴只需证明b>a,由已知显然成立.∴原不等式成立.【解析】 ba+m>ab+m与bm>am等价,因此欲证ba+m>ab+m成立,只需证明bm>am即可.【答案】 bm>am16.已知a,b,c,d∈R+,且S=+++,则S的取值范围是________.【解析】 由放缩法,得<<;<<;<<;<<.以上四个不等式相加,得1<S<
2.【答案】 12
三、解答题本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.本小题满分10分若q>0且q≠1,m,n∈N*,比较1+qm+n与qm+qn的大小.【解】 1+qm+n-qm-qn=qmqn-1-qn-1=qn-1qm-1,
①当0<q<1时,qn<1,qm<
1.
②当q>1时,qn>1,qm>
1.∴qn-1qm-1>0,故1+qm+n>qm+qn.18.本小题满分12分已知a,b为正数,求证+≥.【证明】 ∵a>0,b>0,∴+a+b=5++≥5+2=
9.由a+b>0,得+≥.19.本小题满分12分设a,b,c是不全相等的正实数.求证lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.【证明】 法一 要证lg+lg+lg>lga+lgb+lgc只需证lg··>lgabc只需证··>abc∵≥>0,≥>0,≥>0,∴··≥abc>0成立.∵a,b,c为不全相等的正数,∴上式中等号不成立.∴原不等式成立.法二 ∵a,b,c∈{正实数},∴≥>0,≥>0,≥>0,又∵a,b,c为不全相等的实数,∴··>abc,∴lg··>lgabc,即lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.20.本小题满分12分若0<a<20<b<20<c<2,求证2-ab,2-bc,2-ca不能同时大于
1.【证明】 假设三数能同时大于1,即2-ab>1,2-bc>1,2-ca>
1.那么≥>1,同理>1,>1三式相加>3,即3>
3.上式显然是错误的,∴该假设不成立.∴2-ab,2-bc,2-ca不能同时都大于
1.21.本小题满分12分求证2-1<1+++…+<2n∈N+.【证明】 ∵=>=2-,k∈N+,∴1+++…+>2[-1+-+…+-]=2-1.又=<=2-,k∈N+,∴1+++…+<1+2[-1+-+…+-]=1+2-1=2-1<
2.∴2-1<1+++…+<2n∈N+.22.本小题满分12分等差数列{an}各项均为正整数,a1=3,前n项和为Sn.等比数列{bn}中,b1=1,且b2S2=64,{ban}是公比为64的等比数列.1求an与bn;2证明++…+<.【解】 1设{an}的公差为dd∈N,{bn}的公比为q,则an=3+n-1d,bn=qn-
1.依题意由
①知,q=64=2
③由
②知,q为正有理数.所以d为6的因子1236中之一因此由
②③知d=2,q=8故an=3+2n-1=2n+1,bn=8n-
1.2证明Sn=3+5+7+…+2n+1=nn+2则==-∴+++…+=1-+-+-+…+-=1+--<×=.。