2019年高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合检测新人教A版选修4-5

2019年高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合检测新人教A版选修4-5

一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知a、b、c、d都是正数，且bc＞ad，则，，，中最大的是　　A.　　　　　　B．C.D．【解析】　因为a，b，c，d均是正数且bc＞ad，所以有＞.

①又－＝＝＞0，∴＞，

②－＝＝＞0，∴＞.

③由

①②③知最大，故选D.【答案】　D2．xx·商丘模拟已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝1，则下列不等式中恒成立的是　　A．xy＞yzB．xz＞yzC．x|y|＞z|y|D．xy＞xz【解析】　法一　特殊化法令x＝2，y＝0，z＝－1，可排除A、B、C，故选D.法二　3z＜x＋y＋z＜3x，∴x＞＞z，由x＞0，y＞z得xy＞xz.故D正确．【答案】　D3．对于x∈

[01]的任意值，不等式ax＋2b＞0恒成立，则代数式a＋3b的值　　A．恒为正值B．恒为非负值C．恒为负值D．不确定【解析】　依题意2b＞0，∴b＞0且a＋2b＞0，∴a＋2b＋b＞0，即a＋3b恒为正值．【答案】　A4．已知数列{an}的通项公式an＝，其中a，b均为正数，那么an与an＋1的大小关系是　　A．an＞an＋1B．an＜an＋1C．an＝an＋1D．与n的取值有关【解析】　an＋1－an＝－＝∵a＞0，b＞0，n＞0，n∈N*.∴an＋1－an＞0，因此an＋1＞an.【答案】　B5．否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时，正确的反设为　　A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个偶数D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数【解析】　因为自然数a，b，c中可能有全为奇数、二奇一偶、一奇二偶、全为偶数，共4种情况，故应选D.【答案】　D6．设a＝lg2－lg5，b＝exx＜0，则a与b的大小关系是　　A．a＜bB．a＞bC．a＝bD．a≤b【解析】　a＝lg2－lg5＝lg＜

0.又x＜0，知0＜ex＜1，即0＜b＜1，∴a＜b.【答案】　A7．xx·山东高考改编若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝　　A.B．2C．6D．2或6【解析】　∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6，∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝

2.【答案】　B8．设a＝x4＋y4，b＝x3y＋xy3，c＝2x2y2x，y∈R＋，则下列结论中不正确的是　　A．a最大B．b最小C．c最小D．a，b，c可以相等【解析】　因为b＝x3y＋xy3≥2＝2x2y2＝c，故B错，应选B.【答案】　B9．要使－＜成立，a、b应满足的条件是　　A．ab＜0且a＞bB．ab＞0且a＞bC．ab＜0且a＜bD．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b【解析】　－＜⇔－3＜a－b.⇔3＜3⇔aba－b＞

0.当ab＞0时，a＞b；当ab＜0时，a＜b.【答案】　D10．已知x＝a＋a＞2，y＝b2－2b＜0，则x，y之间的大小关系是　　A．x＞yB．x＜yC．x＝yD．不能确定【解析】　因为x＝a－2＋＋2≥2＋2＝4a＞2．又b2－2＞－2b＜0，即y＝b2－2＜－2＝4，所以x＞y.【答案】　A11．xx·开封模拟已知a、b为非零实数，则使不等式＋≤－2成立的一个充分而不必要条件是　　A．ab＞0B．ab＜0C．a＜0，b＜0D．a＞0，b＜0【解析】　因ab＜0⇔＋≤－2，∴a＞0，b＜0是＋≤－2的充分不必要条件．【答案】　D12．在△ABC中，A，B，C分别为a，b，c所对的角，且a，b，c成等差数列，则角B适合的条件是　　A．0＜B≤B．0＜B≤C．0＜B≤D．＜B＜π【解析】　由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c.∴cosB＝＝，＝＝－≥.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．∴cosB的最小值为.又y＝cosB，在0，上是减函数，∴0＜B≤.【答案】　B

二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上13．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的假设是________．【解析】　“三角形中最多只有一个内角是钝角”的对立事件是“三角形中内角有2个钝角或3个全是钝角”故应填三角形中至少有两个内角是钝角．【答案】　三角形中至少有两个内角是钝角14．已知a，b∈R＋，则x＝abba，y＝aabb的大小关系是________．【解析】　＝＝ab－a·ba－b＝b－a，若a≥b，则≥1，而b－a≤0，∴≤

1.若a＜b，则＜1，而b－a＞0，∴＜

1.综上，y≥x.【答案】　y≥x15．用分析法证明若a，b，m都是正数，且a＜b，则＞.完成下列证明过程．∵b＋m＞0，b＞0，∴要证原不等式成立，只需证明ba＋m＞ab＋m，即只需证明________．∵m＞0，∴只需证明b＞a，由已知显然成立．∴原不等式成立．【解析】　ba＋m＞ab＋m与bm＞am等价，因此欲证ba＋m＞ab＋m成立，只需证明bm＞am即可．【答案】　bm＞am16．已知a，b，c，d∈R＋，且S＝＋＋＋，则S的取值范围是________．【解析】　由放缩法，得＜＜；＜＜；＜＜；＜＜.以上四个不等式相加，得1＜S＜

2.【答案】　12

三、解答题本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．本小题满分10分若q＞0且q≠1，m，n∈N*，比较1＋qm＋n与qm＋qn的大小．【解】　1＋qm＋n－qm－qn＝qmqn－1－qn－1＝qn－1qm－1，

①当0＜q＜1时，qn＜1，qm＜

1.

②当q＞1时，qn＞1，qm＞

1.∴qn－1qm－1＞0，故1＋qm＋n＞qm＋qn.18．本小题满分12分已知a，b为正数，求证＋≥.【证明】　∵a＞0，b＞0，∴＋a＋b＝5＋＋≥5＋2＝

9.由a＋b＞0，得＋≥.19．本小题满分12分设a，b，c是不全相等的正实数．求证lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.【证明】　法一　要证lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc只需证lg··＞lgabc只需证··＞abc∵≥＞0，≥＞0，≥＞0，∴··≥abc＞0成立．∵a，b，c为不全相等的正数，∴上式中等号不成立．∴原不等式成立．法二　∵a，b，c∈{正实数}，∴≥＞0，≥＞0，≥＞0，又∵a，b，c为不全相等的实数，∴··＞abc，∴lg··＞lgabc，即lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.20．本小题满分12分若0＜a＜20＜b＜20＜c＜2，求证2－ab，2－bc，2－ca不能同时大于

1.【证明】　假设三数能同时大于1，即2－ab＞1，2－bc＞1，2－ca＞

1.那么≥＞1，同理＞1，＞1三式相加＞3，即3＞

3.上式显然是错误的，∴该假设不成立．∴2－ab，2－bc，2－ca不能同时都大于

1.21．本小题满分12分求证2－1＜1＋＋＋…＋＜2n∈N＋．【证明】　∵＝＞＝2－，k∈N＋，∴1＋＋＋…＋＞2[－1＋－＋…＋－]＝2－1．又＝＜＝2－，k∈N＋，∴1＋＋＋…＋＜1＋2[－1＋－＋…＋－]＝1＋2－1＝2－1＜

2.∴2－1＜1＋＋＋…＋＜2n∈N＋．22．本小题满分12分等差数列{an}各项均为正整数，a1＝3，前n项和为Sn.等比数列{bn}中，b1＝1，且b2S2＝64，{ban}是公比为64的等比数列．1求an与bn；2证明＋＋…＋＜.【解】　1设{an}的公差为dd∈N，{bn}的公比为q，则an＝3＋n－1d，bn＝qn－

1.依题意由

①知，q＝64＝2

③由

②知，q为正有理数．所以d为6的因子1236中之一因此由

②③知d＝2，q＝8故an＝3＋2n－1＝2n＋1，bn＝8n－

1.2证明Sn＝3＋5＋7＋…＋2n＋1＝nn＋2则＝＝－∴＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋…＋－＝1＋－－＜×＝.。