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2019年高中数学第四章圆与方程单元同步测试(含解析)新人教A版必修2
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是 A.相离B.相交C.外切D.内切解析 将圆x2+y2-6x-8y+9=0,化为标准方程得x-32+y-42=
16.∴两圆的圆心距=5,又r1+r2=5,∴两圆外切.答案 C2.过点21的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程为 A.3x-y-5=0B.3x+y-7=0C.x+3y-5=0D.x-3y+1=0解析 依题意知所求直线通过圆心1,-2,由直线的两点式方程,得=,即3x-y-5=
0.答案 A3.若直线1+ax+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切,则a的值为 A.1,-1B.2,-2C.1D.-1解析 圆x2+y2-2x=0的圆心C10,半径为1,依题意得=1,即|a+2|=,平方整理得a=-
1.答案 D4.经过圆x2+y2=10上一点M2,的切线方程是 A.x+y-10=0B.x-2y+10=0C.x-y+10=0D.2x+y-10=0解析 ∵点M2,在圆x2+y2=10上,kOM=,∴过点M的切线的斜率为k=-.故切线方程为y-=-x-2.即2x+y-10=
0.答案 D5.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是 A.x+y-=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+=0解析 由题意可设所求的直线方程为y=-x+k,则由=1,得k=±.由切点在第一象限知,k=.故所求的直线方程y=-x+,即x+y-=
0.答案 A6.关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P123有下列说法
①点P到坐标原点的距离为;
②OP的中点坐标为;
③与点P关于x轴对称的点的坐标为-1,-2,-3;
④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为12,-3;
⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为12,-3.其中正确的个数是 A.2B.3C.4D.5解析 点P到坐标原点的距离为=,故
①错;
②正确;点P关于x轴对称的点的坐标为1,-2,-3,故
③错;点P关于坐标原点对称的点的坐标为-1,-2,-3,故
④错;
⑤正确.答案 A7.已知点Ma,b在圆O x2+y2=1处,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是 A.相切B.相交C.相离D.不确定解析 ∵点Ma,b在圆x2+y2=1外,∴a2+b21,又圆心00到直线ax+by=1的距离d=1=r,∴直线与圆相交.答案 B8.与圆O1x2+y2+4x-4y+7=0和圆O2x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是 A.4B.3C.2D.1解析 两圆的方程配方得,O1x+22+y-22=1,O2x-22+y-52=16,圆心O1-22,O225,半径r1=1,r2=4,∴|O1O2|==5,r1+r2=
5.∴|O1O2|=r1+r2,∴两圆外切,故有3条公切线.答案 B9.直线l将圆x2+y2-2x-4y=0平分,且与直线x+2y=0垂直,则直线l的方程是 A.2x-y=0B.2x-y-2=0C.x+2y-3=0D.x-2y+3=0解析 依题意知直线l过圆心12,斜率k=2,∴l的方程为y-2=2x-1,即2x-y=
0.答案 A10.圆x2+y2-4m+2x-2my+4m2+4m+1=0的圆心在直线x+y-4=0上,那么圆的面积为 A.9πB.πC.2πD.由m的值而定解析 ∵x2+y2-4m+2x-2my+4m2+4m+1=0,∴[x-2m+1]2+y-m2=m
2.∴圆心2m+1,m,半径r=|m|.依题意知2m+1+m-4=0,∴m=
1.∴圆的面积S=π×12=π.答案 B11.当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q30的连结线段PQ的中点的轨迹方程是 A.x+32+y2=4B.x-32+y2=1C.2x-32+4y2=1D.2x+32+4y2=1解析 设Px1,y1,Q30,设线段PQ中点M的坐标为x,y,则x=,y=,∴x1=2x-3,y1=2y.又点Px1,y1在圆x2+y2=1上,∴2x-32+4y2=
1.故线段PQ中点的轨迹方程为2x-32+4y2=
1.答案 C12.曲线y=1+与直线y=kx-2+4有两个交点,则实数k的取值范围是 A.0,B.,+∞C.,]D.,]解析 如图所示,曲线y=1+变形为x2+y-12=4y≥1,直线y=kx-2+4过定点24,当直线l与半圆相切时,有=2,解得k=.当直线l过点-21时,k=.因此,k的取值范围是k≤.答案 D
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上13.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值为____________.解析 圆心00到直线3x+4y-25=0的距离为5,∴所求的最小值为
4.答案 414.圆心为11且与直线x+y=4相切的圆的方程是________.解析 r==,所以圆的方程为x-12+y-12=
2.答案 x-12+y-12=215.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆,
①关于直线y=x对称;
②关于直线x+y=0对称;
③其圆心在x轴上,且过原点;
④其圆心在y轴上,且过原点,其中叙述正确的是__________.解析 已知方程配方,得x+a2+y-a2=2a2a≠0,圆心坐标为-a,a,它在直线x+y=0上,∴已知圆关于直线x+y=0对称.故
②正确.答案
②16.直线x-2y-3=0与圆x-22+y+32=9相交于A,B两点,则△AOBO为坐标原点的面积为________.解析 圆心坐标2,-3,半径r=3,圆心到直线x-2y-3=0的距离d=,弦长|AB|=2=
4.又原点00到AB所在直线的距离h=,所以△AOB的面积为S=×4×=.答案
三、解答题本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.10分自A40引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.解 解法1连接OP,则OP⊥BC,设Px,y,当x≠0时,kOP·kAP=-1,即·=-
1.即x2+y2-4x=
0.
①当x=0时,P点坐标为00是方程
①的解,∴BC中点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0在已知圆内.解法2由解法1知OP⊥AP,取OA中点M,则M20,|PM|=|OA|=2,由圆的定义,知P点轨迹方程是以M20为圆心,2为半径的圆.故所求的轨迹方程为x-22+y2=4在已知圆内.18.12分已知圆M x2+y2-2mx+4y+m2-1=0与圆N x2+y2+2x+2y-2=0相交于A,B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆M的圆心坐标.解 由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为Mm,-2,N-1,-1.两圆的方程相减得直线AB的方程为2m+1x-2y-m2-1=
0.∵A,B两点平分圆N的圆周,∴AB为圆N的直径,∴AB过点N-1,-1.∴2m+1×-1-2×-1-m2-1=
0.解得m=-
1.故圆M的圆心M-1,-2.19.12分点M在圆心为C1的方程x2+y2+6x-2y+1=0上,点N在圆心为C2的方程x2+y2+2x+4y+1=0上,求|MN|的最大值.解 把圆的方程都化成标准形式,得x+32+y-12=9,x+12+y+22=
4.如图所示,C1的坐标是-31,半径长是3;C2的坐标是-1,-2,半径长是
2.所以,|C1C2|==.因此,|MN|的最大值是+
5.20.12分已知圆C x2+y2+2x-4y+3=0,从圆C外一点P向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求|PM|的最小值.解 如图PM为圆C的切线,则CM⊥PM,∴△PMC为直角三角形,∴|PM|2=|PC|2-|MC|
2.设Px,y,C-12,|MC|=.∵|PM|=|PO|,∴x2+y2=x+12+y-22-
2.化简得点P的轨迹方程为2x-4y+3=
0.求|PM|的最小值,即求|PO|的最小值,即求原点O到直线2x-4y+3=0的距离,代入点到直线的距离公式可求得|PM|最小值为.21.12分已知圆C x2+y2-4x-14y+45=0及点Q-2,3,1若点Pm,m+1在圆C上,求PQ的斜率;2若点M是圆C上任意一点,求|MQ|的最大值、最小值;3若Na,b满足关系a2+b2-4a-14b+45=0,求出t=的最大值.解 圆C x2+y2-4x-14y+45=0可化为x-22+y-72=
8.1点Pm,m+1在圆C上,所以m2+m+12-4m-14m+1+45=0,解得m=4,故点P45.所以PQ的斜率是kPQ==;2如图,点M是圆C上任意一点,Q-23在圆外,所以|MQ|的最大值、最小值分别是|QC|+r,|QC|-r.易求|QC|=4,r=2,所以|MQ|max=6,|MQ|min=
2.3点N在圆C x2+y2-4x-14y+45=0上,t=表示的是定点Q-23与圆上的动点N连线l的斜率.设l的方程为y-3=kx+2,即kx-y+2k+3=
0.当直线和圆相切时,d=r,即=2,解得k=2±.所以t=的最大值为2+.22.12分已知曲线C x2+y2+2kx+4k+10y+10k+20=0,其中k≠-
1.1求证曲线C表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上;2证明曲线C过定点;3若曲线C与x轴相切,求k的值.解 1证明原方程可化为x+k2+y+2k+52=5k+
12.∵k≠-1,∴5k+
120.故方程表示圆心为-k,-2k-5,半径为|k+1|的圆.设圆心的坐标为x,y,则消去k,得2x-y-5=
0.∴这些圆的圆心都在直线2x-y-5=0上.2证明将原方程变形为2x+4y+10k+x2+y2+10y+20=0,∵上式对于任意k≠-1恒成立,∴解得∴曲线C过定点1,-3.3∵圆C与x轴相切,∴圆心-k,-2k-5到x轴的距离等于半径.即|-2k-5|=|k+1|.两边平方,得2k+52=5k+
12.∴k=5±
3.。