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2019年高中数学综合测试(含解析)北师大版选修2-2
一、选择题本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.正数a、b、c、d满足a+d=b+c,|a-d||b-c|,则 A.ad=bc B.adbcC.adbc D.ad与bc的大小关系不定[答案] C[解析] ∵a+d=b+c,∴a+d2=b+c
2.又∵|a-d||b-c|,∴a-d2b-c2,即a+d2-4adb+c2-4bc.∴-4ad-4bc.∴adbc.2.已知{bn}为等比数列,b5=2,则b1b2b3…b9=
29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类似结论为 A.a1a2a3…a9=29B.a1+a2+…+a9=29C.a1a2…a9=2×9D.a1+a2+…+a9=2×9[答案] D[解析] 由等差数列的性质知,a1+a9=a2+a8=…=2a5,故D成立.3.做直线运动的质点在任意位置x处,所受的力Fx=1-e-x,则质点从x1=0,沿x轴运动到x2=1处,力Fx所做的功是 A.e B. C.2e D.[答案] B[解析] 由W=1-e-xdx=1dx-e-xdx=x|+e-x|=1+-1=.4.已知复数x-2+yix,y∈R对应向量的模为,则的最大值是 A. B. C. D.[答案] C[解析] 由|x-2+yi|=,得x-22+y2=3,此方程表示如图所示的图C,则的最大值为切线OP的斜率.由|CP|=,|OC|=2,得∠COP=,∴切线OP的斜率为,故选C.5.xx·重庆文,8设函数fx在R上可导,其导函数为f′x,且函数fx在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′x的图像可能是 [答案] C[解析] 本题考查导数的应用,函数的图象.由fx在x=-2处取极小值知f′-2=0且在2的左侧f′x0,而2的右侧f′x0,所以C项合适.函数、导数、不等式结合命题,对学生应用函数能力提出了较高要求.6.观察下列的图形中小正方形的个数,则第6个图中有________个小正方形,第n个图中有________个小正方形 A.28,B.14,C.28,D.12,[答案] A[解析] 根据规律知第6个图形中有1+2+3+4+5+6+7=
28.第n个图形中有1+2+…+n+1=.7.电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系y=x3-x2-40xx>0,为使耗电量最小,则速度应定为 A.20B.40 C.100D.60[答案] B[解析] 由y′=x2-39x-40=0,得x=-1或40,由于0<x<40时,y′<0;当x>40时,y′>
0.所以,当x=40时,y有最小值.8.在数列111111111,…中 A.有完全平方数B.没有完全平方数C.有偶数D.没有3的倍数[答案] B[解析] 显然没有偶数,有3的倍数,故C、D错误,假设有完全平方数,它必为奇数的平方,设11…=2n+12n为正整数,则11…1=4nn+1,两边同除以2得,55…=2nn+1,此式左端为奇数,右端为偶数,矛盾.9.给出定义若函数fx在D上可导,即f′x存在,且导函数f′x在D上也可导,则称fx在D上存在二阶导函数,记f″x=f′x′,若f″x0在D上恒成立,则称fx在D上为凸函数.以下四个函数在0,上不是凸函数的是 A.fx=sinx+cosxB.fx=lnx-2xC.fx=-x3+2x-1D.fx=-xe-x[答案] D[解析] 若fx=sinx+cosx,则f″x=-sinx-cosx,在x∈0,上,恒有f″x0;若fx=lnx-2x,则f″x=-,在x∈0,上,恒有f″x0;若fx=-x3+2x-1,则f″x=-6x,在x∈0,上,恒有f″x0;若fx=-xe-x,则f″x=2e-x-xe-x=2-xe-x.在x∈0,上,恒有f″x0,故选D.10.fx是定义在0,+∞上的非负可导函数,且满足xf′x+fx≤
0.对任意正数a、b,若ab,则必有 A.afb≤bfaB.bfa≤afbC.afa≤fbD.bfb≤fa[答案] A[解析] ∵xf′x+fx≤0,又fx≥0,∴xf′x≤-fx≤
0.设y=,则y′=≤0,故y=是递减的或是常函数.又ab,∴≥,而a,b0,则afb≤bfa.
二、填空题本大题共5小题,每小题5分,共25分11.xx·北京理,9复数2=________.[答案] -1[解析] 复数===i,故2=i2=-
1.12.用数学归纳法证明34n+1+52n+1能被14整除时,当n=k+1时,对于34k+1+1+52k+1+1应变形为________.[答案] 34·34k+1+52·52k+1[解析] n=k时,34k+1+52k+1能被14整除,因此,我们需要将n=k+1时的式子构造为能利用n=k的假设的形式.34k+1+1+52k+1+1=34·34k+1+52·52k+1+34·52k+1-34·52k+1=3434k+1+52k+1+52-3452k+1,便可得证.13.在△ABC中,D是BC的中点,则=+,将命题类比到四面体中去,得到一个类比命题_____________________________________________________________________________________________________________________________________.[答案] 在四面体A-BCD中,G为△BCD的重心,则=++14.已知函数fx=x3-ax2+3ax+1在区间-∞,+∞内既有极大值,又有极小值,则实数a的取值范围是________________.[答案] -∞,0∪9,+∞[解析] 由题意得y′=3x2-2ax+3a=0有两个不同的实根,故Δ=-2a2-4×3×3a0,解得a0或a
9.15.如图为函数fx的图像,f′x为函数fx的导函数,则不等式x·f′x0的解集为________.[答案] -3,-1∪01[解析] x·f′x0⇔或∵-3,-1是fx的递增区间,∴f′x0的解集为-3,-1.∵01是fx的递减区间,∴f′x0的解集为01.故不等式的解集为-3,-1∪01.
三、解答题本大题共6小题,共75分,前4题每题12分,20题13分,21题14分16.已知复数z满足方程z2+2iz+3=0,求z[分析] 设z=x+yix,y∈R,代入已知方程进而求出x,y.[解析] 设z=x+yix,y∈R,由z满足方程z2+2iz+3=0,得x+yi2+2ix+yi+3=
0.整理,得x2-y2-2y+3+2xy+xi=
0.由复数相等的充要条件,得由
②,得x=0或y=-
1.当x=0时,由
①,得y2+2y-3=0,有y=1或y=-3;当y=-1时,由
①,得x2+4=0,无解.所以或则z=i,或z=-3i.17.设函数fx=kx3-3x2+1k≥0.1求函数fx的单调区间;2若函数fx的极小值大于0,求k的取值范围.[解析] 1当k=0时,fx=-3x2+1,∴fx的单调增区间为-∞,0,单调减区间为0,+∞.当k0时,f′x=3kx2-6x=3kxx-.∴fx的单调增区间为-∞,0,,+∞,单调减区间为0,.2当k=0时,函数fx不存在极小值.当k0时,由1知fx的极小值为f=-+10,即k24,又k0,∴k的取值范围为2,+∞.18.设数列{an}满足a1=0且-=
1.1求{an}的通项公式;2设bn=,记Sn=k,证明Sn
1.[分析] 1由数列{1-}为等差数列,求得1-再解出an即可.2化简bn,再利用裂项求和的办法求Sn,进而证明Sn
1.[解析] 1由题设-=1,即{}是公差为1的等差数列.又=1,故=n.所以an=1-.2由1得bn===-,Sn=k=-=1-
1.
19.如图,ABCD是一块边长为4km的正方形地域,地域内有一条河流MD,河流经过路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线河流宽度忽略不计,某公司准备投巨资建一个大型矩形游乐园PQCN,问如何施工才能使游乐园的面积最大,并求出最大值.[解析] 以M为原点,AB为y轴,过点M垂直于AB的直线为x轴建立直角坐标系如图所示,故可知D42,则抛物线的方程为y2=x.令Pt2,t,则0≤t≤2,|PN|=4-t2,|PQ|=t+2,所以St=t+24-t2=-t3-2t2+4t+80≤t≤2.求导得S′t=-3t2-4t+4,令S′t=0,得函数St的极值点为t=,或t=-2舍去.比较极值点和端点的函数值得当t=时,St有最大值为.20.xx·福建理,17某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
④sin2-18°+cos248°-sin-18°cos48°;
⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°.1试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;2根据1的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.[解析] 解法一1选择2式,计算如下sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=.2三角恒等式为sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=.证明如下sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=sin2α+cos30°cosα+sin30°sinα2-sinαcos30°cosα+sin30°sinα=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.解法二1同解法一.2三角恒等式为sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=.证明如下sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=+-sinαcos30°cosα+sin30°sinα=-cos2α++cos60°cos2α+sin60°sin2α-sinαcosα-sin2α=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-1-cos2α=1-cos2α-+cos2α=.21.设a0且a≠1,函数fx=x2-a+1x+alnx.1当a=2时,求曲线y=fx在3,f3处切线的斜率;2求函数fx的极值点.[解析] 1由已知得x
0.当a=2时,f′x=x-3+,f′3=,所以曲线y=fx在3,f3处切线的斜率为.2f′x=x-a+1+==.由f′x=0,得x=1或x=a.
①当0a1时,当x∈0,a时,f′x0,函数fx单调递增;当x∈a1时,f′x0,函数fx单调递减;当x∈1,+∞时,f′x0,函数fx单调递增.此时x=a时fx的极大值点,x=1是fx的极小值点.
②当a1时,当x∈01时,f′x0,函数fx单调递增;当x∈1,a时,f′x0,函数fx单调递减;当x∈a,+∞时,f′x0,函数fx单调递增.此时x=1是fx的极大值点,x=a是fx的极小值点.综上,当0a1时,x=a是fx的极大值点,x=1是fx的极小值点;当a1时,x=1是fx的极大值点,x=a是fx的极小值点.。