2019年高中数学综合测试（含解析）北师大版选修2-2

2019年高中数学综合测试（含解析）北师大版选修2-2

一、选择题本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．正数a、b、c、d满足a＋d＝b＋c，|a－d||b－c|，则　　A．ad＝bc　　　　　　　B．adbcC．adbc　　　D．ad与bc的大小关系不定[答案]　C[解析]　∵a＋d＝b＋c，∴a＋d2＝b＋c

2.又∵|a－d||b－c|，∴a－d2b－c2，即a＋d2－4adb＋c2－4bc.∴－4ad－4bc.∴adbc.2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝

29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为　　A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9[答案]　D[解析]　由等差数列的性质知，a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5，故D成立．3．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力Fx＝1－e－x，则质点从x1＝0，沿x轴运动到x2＝1处，力Fx所做的功是　　A．e　　　　B.　　　　C．2e　　　　D.[答案]　B[解析]　由W＝1－e－xdx＝1dx－e－xdx＝x|＋e－x|＝1＋－1＝.4．已知复数x－2＋yix，y∈R对应向量的模为，则的最大值是　　A.　　　B.　　　C.　　　D.[答案]　C[解析]　由|x－2＋yi|＝，得x－22＋y2＝3，此方程表示如图所示的图C，则的最大值为切线OP的斜率．由|CP|＝，|OC|＝2，得∠COP＝，∴切线OP的斜率为，故选C.5．xx·重庆文，8设函数fx在R上可导，其导函数为f′x，且函数fx在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′x的图像可能是　　[答案]　C[解析]　本题考查导数的应用，函数的图象．由fx在x＝－2处取极小值知f′－2＝0且在2的左侧f′x0，而2的右侧f′x0，所以C项合适．函数、导数、不等式结合命题，对学生应用函数能力提出了较高要求．6．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n个图中有________个小正方形　　A．28，B.14，C．28，D.12，[答案]　A[解析]　根据规律知第6个图形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝

28.第n个图形中有1＋2＋…＋n＋1＝.7．电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系y＝x3－x2－40xx＞0，为使耗电量最小，则速度应定为　　A．20B.40　　　C．100D.60[答案]　B[解析]　由y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或40，由于0＜x＜40时，y′＜0；当x＞40时，y′＞

0.所以，当x＝40时，y有最小值．8．在数列111111111，…中　　A．有完全平方数B.没有完全平方数C．有偶数D.没有3的倍数[答案]　B[解析]　显然没有偶数，有3的倍数，故C、D错误，假设有完全平方数，它必为奇数的平方，设11…＝2n＋12n为正整数，则11…1＝4nn＋1，两边同除以2得，55…＝2nn＋1，此式左端为奇数，右端为偶数，矛盾．9．给出定义若函数fx在D上可导，即f′x存在，且导函数f′x在D上也可导，则称fx在D上存在二阶导函数，记f″x＝f′x′，若f″x0在D上恒成立，则称fx在D上为凸函数．以下四个函数在0，上不是凸函数的是　　A．fx＝sinx＋cosxB.fx＝lnx－2xC．fx＝－x3＋2x－1D.fx＝－xe－x[答案]　D[解析]　若fx＝sinx＋cosx，则f″x＝－sinx－cosx，在x∈0，上，恒有f″x0；若fx＝lnx－2x，则f″x＝－，在x∈0，上，恒有f″x0；若fx＝－x3＋2x－1，则f″x＝－6x，在x∈0，上，恒有f″x0；若fx＝－xe－x，则f″x＝2e－x－xe－x＝2－xe－x.在x∈0，上，恒有f″x0，故选D.10．fx是定义在0，＋∞上的非负可导函数，且满足xf′x＋fx≤

0.对任意正数a、b，若ab，则必有　　A．afb≤bfaB.bfa≤afbC．afa≤fbD.bfb≤fa[答案]　A[解析]　∵xf′x＋fx≤0，又fx≥0，∴xf′x≤－fx≤

0.设y＝，则y′＝≤0，故y＝是递减的或是常函数．又ab，∴≥，而a，b0，则afb≤bfa．

二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分11．xx·北京理，9复数2＝________.[答案]　－1[解析]　复数＝＝＝i，故2＝i2＝－

1.12．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1能被14整除时，当n＝k＋1时，对于34k＋1＋1＋52k＋1＋1应变形为________．[答案]　34·34k＋1＋52·52k＋1[解析]　n＝k时，34k＋1＋52k＋1能被14整除，因此，我们需要将n＝k＋1时的式子构造为能利用n＝k的假设的形式.34k＋1＋1＋52k＋1＋1＝34·34k＋1＋52·52k＋1＋34·52k＋1－34·52k＋1＝3434k＋1＋52k＋1＋52－3452k＋1，便可得证．13．在△ABC中，D是BC的中点，则＝＋，将命题类比到四面体中去，得到一个类比命题_____________________________________________________________________________________________________________________________________.[答案]　在四面体A－BCD中，G为△BCD的重心，则＝＋＋14．已知函数fx＝x3－ax2＋3ax＋1在区间－∞，＋∞内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是________________．[答案]　－∞，0∪9，＋∞[解析]　由题意得y′＝3x2－2ax＋3a＝0有两个不同的实根，故Δ＝－2a2－4×3×3a0，解得a0或a

9.15．如图为函数fx的图像，f′x为函数fx的导函数，则不等式x·f′x0的解集为________．[答案]　－3，－1∪01[解析]　x·f′x0⇔或∵－3，－1是fx的递增区间，∴f′x0的解集为－3，－1．∵01是fx的递减区间，∴f′x0的解集为01．故不等式的解集为－3，－1∪01．

三、解答题本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分16．已知复数z满足方程z2＋2iz＋3＝0，求z[分析]　设z＝x＋yix，y∈R，代入已知方程进而求出x，y.[解析]　设z＝x＋yix，y∈R，由z满足方程z2＋2iz＋3＝0，得x＋yi2＋2ix＋yi＋3＝

0.整理，得x2－y2－2y＋3＋2xy＋xi＝

0.由复数相等的充要条件，得由

②，得x＝0或y＝－

1.当x＝0时，由

①，得y2＋2y－3＝0，有y＝1或y＝－3；当y＝－1时，由

①，得x2＋4＝0，无解．所以或则z＝i，或z＝－3i.17．设函数fx＝kx3－3x2＋1k≥0．1求函数fx的单调区间；2若函数fx的极小值大于0，求k的取值范围．[解析]　1当k＝0时，fx＝－3x2＋1，∴fx的单调增区间为－∞，0，单调减区间为0，＋∞．当k0时，f′x＝3kx2－6x＝3kxx－．∴fx的单调增区间为－∞，0，，＋∞，单调减区间为0，．2当k＝0时，函数fx不存在极小值．当k0时，由1知fx的极小值为f＝－＋10，即k24，又k0，∴k的取值范围为2，＋∞．18．设数列{an}满足a1＝0且－＝

1.1求{an}的通项公式；2设bn＝，记Sn＝k，证明Sn

1.[分析]　1由数列{1－}为等差数列，求得1－再解出an即可．2化简bn，再利用裂项求和的办法求Sn，进而证明Sn

1.[解析]　1由题设－＝1，即{}是公差为1的等差数列．又＝1，故＝n.所以an＝1－.2由1得bn＝＝＝－，Sn＝k＝－＝1－

1.

19.如图，ABCD是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流MD，河流经过路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线河流宽度忽略不计，某公司准备投巨资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使游乐园的面积最大，并求出最大值．[解析]　以M为原点，AB为y轴，过点M垂直于AB的直线为x轴建立直角坐标系如图所示，故可知D42，则抛物线的方程为y2＝x.令Pt2，t，则0≤t≤2，|PN|＝4－t2，|PQ|＝t＋2，所以St＝t＋24－t2＝－t3－2t2＋4t＋80≤t≤2．求导得S′t＝－3t2－4t＋4，令S′t＝0，得函数St的极值点为t＝，或t＝－2舍去．比较极值点和端点的函数值得当t＝时，St有最大值为.20．xx·福建理，17某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数

①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；

②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；

③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；

④sin2－18°＋cos248°－sin－18°cos48°；

⑤sin2－25°＋cos255°－sin－25°cos55°.1试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；2根据1的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解析]　解法一1选择2式，计算如下sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.2三角恒等式为sin2α＋cos230°－α－sinαcos30°－α＝.证明如下sin2α＋cos230°－α－sinαcos30°－α＝sin2α＋cos30°cosα＋sin30°sinα2－sinαcos30°cosα＋sin30°sinα＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.解法二1同解法一．2三角恒等式为sin2α＋cos230°－α－sinαcos30°－α＝.证明如下sin2α＋cos230°－α－sinαcos30°－α＝＋－sinαcos30°cosα＋sin30°sinα＝－cos2α＋＋cos60°cos2α＋sin60°sin2α－sinαcosα－sin2α＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－1－cos2α＝1－cos2α－＋cos2α＝.21．设a0且a≠1，函数fx＝x2－a＋1x＋alnx.1当a＝2时，求曲线y＝fx在3，f3处切线的斜率；2求函数fx的极值点．[解析]　1由已知得x

0.当a＝2时，f′x＝x－3＋，f′3＝，所以曲线y＝fx在3，f3处切线的斜率为.2f′x＝x－a＋1＋＝＝.由f′x＝0，得x＝1或x＝a.

①当0a1时，当x∈0，a时，f′x0，函数fx单调递增；当x∈a1时，f′x0，函数fx单调递减；当x∈1，＋∞时，f′x0，函数fx单调递增．此时x＝a时fx的极大值点，x＝1是fx的极小值点．

②当a1时，当x∈01时，f′x0，函数fx单调递增；当x∈1，a时，f′x0，函数fx单调递减；当x∈a，＋∞时，f′x0，函数fx单调递增．此时x＝1是fx的极大值点，x＝a是fx的极小值点．综上，当0a1时，x＝a是fx的极大值点，x＝1是fx的极小值点；当a1时，x＝1是fx的极大值点，x＝a是fx的极小值点．。