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小专题一 旋转变换的证明与计算
1.任意一个图形绕旋转中心旋转α0°α≤180°旋转后的图形与原图形的对应线段所在直线的夹角都为α或180°-α.
2.当条件比较分散时可通过旋转变换把分散的条件集中在一个三角形中其中旋转的角度是构图的关键.通常把图形旋转到特定的位置或特殊的角度当三角形绕某一顶点旋转90°时可出现等腰直角三角形当三角形绕某一顶点旋转60°时可出现等边三角形.于是可把陌生问题转化为熟悉问题把复杂问题转化为简单问题.类型1 利用旋转变换证明
1.如图正方形ABCD的对角线ACBD相交于点O.1在图1中E是OC上一点F是OB上一点且OE=OF请问可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法使△OAF变换到△OBE的位置2如图2若点EF分别在OCOB的延长线上并且OE=OF试写出线段AF与BE的数量关系并说明理由.解:1旋转以点O为旋转中心逆时针旋转90度可以使△OAF变换到△OBE的位置.2AF=BE.理由:∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BDOA=OB∴∠AOB=∠BOC=90°在△AOF和△BOE中∴△AOF≌△BOESAS∴AF=BE.类型2 利用旋转求线段长
2.如图在△ABC中AB=AC=2∠BAC=45°△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的连接BECF相交于点D.1求证:BE=CF;2当四边形ABDF为菱形时求CD的长.解:1∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的∴AE=AF=AB=AC=2∠EAF=∠BAC=45°∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE即∠BAE=∠CAF在△ABE和△ACF中∴△ABE≌△ACF∴BE=CF.2∵四边形ABDF为菱形∴DF=AF=2DF∥AB∴∠ACF=∠BAC=45°.∵AC=AF∴∠ACF=∠AFC=45°∴△ACF为等腰直角三角形∴CF=AF=2∴CD=CF-DF=2-
2.类型3 利用旋转求角的度数
3.如图菱形ABCD是由两个正三角形拼成的P是△ABD内任意一点现把△BPD绕点B旋转到△BQC的位置.1当四边形BPDQ是平行四边形时求∠BPD;2当△PQD是等腰直角三角形时求∠BPD;3若∠APB=100°且△PQD是等腰三角形时求∠BPD.解:1连接DQ.当四边形BPDQ是平行四边形时BQ=PD由已知得BQ=BP∴BP=PD∵△BQC由△BPD旋转所得∴△BDP△BCQ为等腰三角形∵PD∥BQ∴∠BDP=∠DBQ∵∠BDP=∠DBP=∠CBQ∴∠DBQ=∠CBQ∵∠DBC=60°=∠DBQ+∠CBQ∴∠BDP=∠DBP=∠CBQ=30°∠DPB=180°-∠BDP+∠DBP=120°.2连接PQ.当DP=DQ∠PDQ=90°时由旋转的性质可得BP=BQ∵∠DBQ+∠CBQ=∠DBC=60°∠DBP=∠CBQ∴∠DBP+∠DBQ=∠CBQ+∠DBQ=60°∴△BPQ为等边三角形∠BPQ=60°∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+45°=105°当DQ=PQ∠PQD=90°时同理得△BPQ为等边三角形∠BPQ=60°∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+45°=105°当DP=PQ∠DPQ=90°时同理得△BPQ为等边三角形∠BPQ=60°∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+90°=150°.综上∠BPD的度数为105°或150°.3连接AP.由旋转的性质可得BP=BQ同理得△BPQ为等边三角形则∠PQB=∠PBQ=∠BPQ=60°∵BD=ABBQ=BP∠PBQ=∠ABD=60°∴△BQD≌△BPA则∠BQD=∠BPA=100°∴∠PQD=∠BQD-∠PQB=40°.当PQ=PD时∠DPQ=180°-2∠PQD=100°∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+100°=160°;当PQ=DQ时∠DPQ=180°-40°=70°∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+70°=130°;当PD=DQ时∠DPQ=∠PQD=40°由∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+40°=100°.综上∠BPD的度数为100°或130°或160°.类型4 利用旋转求面积
4.德阳中考如图将△ABC沿BC翻折得到△DBC再将△DBC绕点C逆时针旋转60°得到△FEC延长BD交EF于点H已知∠ABC=30°∠BAC=90°AC=1则四边形CDHF的面积为 .
5.青海中考请认真阅读下面的数学小探究系列完成所提出的问题:1探究1:如图1在等腰直角三角形ABC中∠ACB=90°BC=a将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD连接CD.求证:△BCD的面积为a
2.2探究2:如图2在一般的Rt△ABC中∠ACB=90°BC=a将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD连接CD.请用含a的式子表示△BCD的面积并说明理由.3探究3:如图3在等腰三角形ABC中AB=ACBC=a将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD连接CD.试探究用含a的式子表示△BCD的面积要有探究过程.解:1如题图1过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E∴∠BED=∠ACB=90°由旋转知AB=BD∠ABD=90°∴∠ABC+∠DBE=90°∵∠A+∠ABC=90°∴∠A=∠DBE在△ABC和△BDE中∴△ABC≌△BDEAAS∴BC=DE=a∴S△BCD=BC·DE=a
2.2△BCD的面积为a
2.理由:如题图2过点D作BC的垂线与CB的延长线交于点E.∴∠BED=∠ACB=90°由旋转知AB=BD∠ABD=90°∴∠ABC+∠DBE=90°.∵∠A+∠ABC=90°∴∠A=∠DBE.在△ABC和△BDE中∴△ABC≌△BDEAAS∴BC=DE=a.∴S△BCD=BC·DE=a
2.3如题图3过点A作AF⊥BC于点F过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E∴∠AFB=∠E=90°BF=BC=a∴∠FAB+∠ABF=90°.∵∠ABD=90°∴∠ABF+∠DBE=90°∴∠FAB=∠EBD.∵线段BD是由线段AB旋转得到的∴AB=BD.在△AFB和△BED中∴△AFB≌△BEDAAS∴BF=DE=a.∵S△BCD=BC·DE=·a·a=a
2.类型5 利用旋转求点的坐标
6.牡丹江中考如图矩形ABCD的边BC在x轴上点A在第二象限点D在第一象限AB=2OD=4将矩形ABCD绕点O旋转使点D落在x轴上则点C的对应点的坐标是CA.-1B.-1C.-1或1-D.-1或1-类型6 与旋转有关的探究题
7.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a0°a360°得到矩形AEFG.1如图当点E在BD上时求证:FD=CD.2当a为何值时GC=GB画出图形并说明理由.解:1连接AF.∵矩形AEFG由矩形ABCD旋转所得∴BD=AF∠EAF=∠ABD∵AB=AE∴∠ABD=∠AEB∴∠EAF=∠AEB∴BD∥AF∴四边形BDFA是平行四边形∴FD=AB∵AB=CD∴FD=CD.2如答图1当点G位于BC的垂直平分线上且在BC的右边时GC=GB.易知点G是AD的垂直平分线上的点∴DG=AG又∵AG=AD∴△ADG是等边三角形∴∠DAG=60°∴a=60°.如答图2当点G位于BC的垂直平分线上且在BC的左边时GC=GB.同理△ADG是等边三角形∴∠DAG=60°此时a=300°.综上所述当a为60°或300°时GC=GB.
8.如图1在平面直角坐标系中O为坐标原点点A的坐标为-10点B的坐标为
0.1求∠BAO的度数.2如图1将△AOB绕点O顺时针旋转得△AOB当点A恰好落在AB边上时设△ABO的面积为S1△BAO的面积为S2S1与S2有何关系为什么3若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置S1与S2的关系发生变化了吗请说明理由.解:1∵A-10B0∴AO=1BO=∴tan∠BAO=∴∠BAO=60°.2S1=S
2.理由:根据旋转的性质可得AO=AO∠OAB=∠OAB=60°∴△AOA是等边三角形∴∠AOA=60°∴∠AOA=∠OAB∴AB∥x轴∴AB⊥y轴.设题图1中AB与y轴交于点C在Rt△ACO中AO=1∠AOC=90°-60°=30°∴AC=CO=.∴S1=AO·CO=×1×S2=BO·AC=∴S1=S
2.3S1与S2的关系没有发生变化.理由:如题图2过点B作BD⊥x轴于点D过点B作BE⊥OA于点E∴∠ODB=∠OEB=90°.∵∠AOA=∠BOB∴∠BOE=∠BOD.又∵OB=OB∴△OBE≌△OBD∴BE=BD.又∵OA=OAS1=AO·BDS2=AO·BE∴S1=S
2.
9.如图1在矩形ABCD中E是AD的中点以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EFEG分别过点BC∠F=30°.1求证:BE=CE;2将△EFG绕点E按顺时针方向旋转当旋转到EF与AD重合时停止转动若EFEG分别与ABBC相交于点MN如图
2.
①求证:△BEM≌△CEN;
②若AB=2求△BMN面积的最大值;
③当旋转停止时点B恰好在FG上如图3求sin∠EBG的值.解:1∵四边形ABCD为矩形∴∠A=∠D=90°AB=DC.∵E为AD中点∴AE=DE∴△ABE≌△DCE∴BE=CE.2
①∵△ABE≌△DCE∴∠AEB=∠DEC.∵∠FEG=90°∴∠BEC=90°∴∠AEB=∠DEC=45°∴∠ABE=∠ECB=45°.∵∠BEM+∠BEN=∠CEN+∠BEN=90°∴∠BEM=∠CEN.∵BE=CE∴△BEM≌△CEN.
②由
①可知△ABE和△DEC都是等腰直角三角形E为AD中点∴BC=AD=2AB=
4.设BM=CN=x则BN=4-x2≤x≤
4.S△MBN=BM·BN=x4-x=-x2+2x=-x-22+2∴当x=2时△BMN的面积最大最大面积为
2.
③∵BC∥AD∠FEG=90°∴∠BNG=∠FEG=90°.∵∠F=30°∴∠NBG=∠F=30°.由
①可知∠EBN=45°.设NG=y则BG=2yBN=yEN=y∴BE=y∴S△EBG=·EB·BGsin∠EBG=EG·BN∴sin∠EBG=.。