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小专题三 二次函数的图象与性质本专题包括二次函数的图象及性质的简单应用、二次函数图象上点的坐标特点、二次函数图象的平移变换等内容属于中考热点问题熟练掌握二次函数的图象及性质、对称轴、顶点坐标、二次函数的最值等知识点是解题的关键.类型1 二次函数的图象及应用
1.已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示下列结论:
①a0;
②该函数的图象关于直线x=1对称;
③当x=-1或x=3时函数y的值都等于
0.其中正确结论的个数是BA.3B.2C.1D.
02.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是C
3.如图二次函数的图象经过-2-111两点则下列关于此二次函数的说法正确的是DA.y的最大值小于0B.当x=0时y的值大于1C.当x=-1时y的值大于1D.当x=-3时y的值小于0类型2 二次函数性质的应用
4.泸州中考已知抛物线y=x2+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F02的距离与到x轴的距离始终相等.如图点M的坐标为3P是抛物线y=x2+1上一个动点则△PMF周长的最小值是CA.3B.4C.5D.6提示:过点M作ME⊥x轴于点E交抛物线y=x2+1于点P此时△PMF周长最小.
5.如图已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于AB两点与y轴交于点C点B的坐标为
30.1求m的值及抛物线的顶点坐标;2P是抛物线对称轴l上的一个动点当PA+PC的值最小时求点P的坐标.解:1把点30代入y=-x2+mx+3得0=-32+3m+3解得m=2∴y=-x2+2x+3=-x-12+4∴顶点坐标为
14.2连接BC交抛物线对称轴l于点P则此时PA+PC的值最小设直线BC的表达式为y=kx+b∵直线BC经过点C03点B30∴3k+b=0b=3解得k=-1b=3∴直线BC的表达式为y=-x+3当x=1时y=-1+3=2∴当PA+PC的值最小时点P的坐标为
12.
6.如图已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A.二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.1求点A与点C的坐标;2当四边形AOBC为菱形时求函数y=ax2+bx的关系式.解:1y=x2-2x-1=x-12-2∴点A的坐标为1-
2.∵抛物线y=ax2+bx的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.∴B点的横坐标为1则对称轴-=1∴b=-2a.对于y=ax2+bx令y=0得ax2+bx=0解得x1=0x2=-则x2=-=2即点C的坐标为
20.2当四边形AOBC为菱形时由菱形的对角线互相垂直平分得B点坐标为12则解得∴函数y=ax2+bx的关系式为y=-2x2+4x.类型3 二次函数图象上点的坐标特点
7.如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M11则称此抛物线为定点抛物线.1张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的一个表达式.小敏写出了一个答案:y=2x2+3x-4请你写出一个不同于小敏的答案;2张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=-x2+2bx+c+1求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的表达式请你解答.解:1y=x2-2x+
2.答案不唯一2∵定点抛物线的顶点坐标为bc+b2+1且-1+2b+c+1=1∴c=1-2b∵顶点纵坐标c+b2+1=2-2b+b2=b-12+1∴当b=1时c+b2+1最小即抛物线顶点纵坐标的值最小此时c=-1∴抛物线的表达式为y=-x2+2x.类型4 二次函数图象的平移变换
8.淄博中考将二次函数y=x2+2x-1的图象沿x轴向右平移2个单位长度得到的函数表达式是DA.y=x+32-2B.y=x+32+2C.y=x-12+2D.y=x-12-
29.已知抛物线C1:y=x+22-5的顶点为P与x轴正半轴交于点B抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称将抛物线C2向右平移平移后的抛物线记为C3C3的顶点为M当点PM关于点B成中心对称时求C3的表达式.解:点P的坐标为-2-5令y=0得x+22-5=0解得x1=1x2=-5∴点B的坐标为10∵点PM关于点B对称∴点M的坐标为45∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称抛物线C2向右平移得到C3∴抛物线C3的表达式为y=-x-42+
5.
10.如图所示的抛物线是由抛物线y=-x2经过平移而得到.这时抛物线过原点O和x轴正半轴上一点A顶点为P∠OPA=90°.1求抛物线的顶点P的坐标及抛物线的表达式;2求如图所示的抛物线对应的二次函数在-≤x≤时的最大值和最小值.解:1由题意可设y=-x-a2+ba0∵抛物线过点00代入得0=-a2+b∴b=a2y=-x-a2+a
2.过点P作PM⊥x轴于点M则OM=aPM=a
2.∵P是抛物线的顶点∠OPA=90°∴PO=PA∴OM=AM=PM∴a2=a解得a=1或a=0舍去∴点P的坐标为11∴抛物线的表达式为y=-x-12+1=-x2+2x.2∵抛物线的表达式为y=-x-12+1∴抛物线的对称轴是直线x=1又∵抛物线开口向下∴当-x时y随x的增大而增大.∴当x=时y最大=-+2×;当x=-时y最小=--2×=-.。