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小专题四 二次函数的应用本专题包括求图形面积的最值问题、求抛物线形运动问题、求抛物线形建筑物问题、求销售中最大利润问题是中考常考的题型特别是利润问题是近年考查的热点题型.类型1 求面积体积的最值问题
1.如图有一块边长为6cm的正三角形纸板在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形再沿图中的虚线折起做成一个无盖的直三棱柱纸盒则该纸盒侧面积的最大值是 cm
2.
2.有一块直角三角形铁皮余料BC=1m∠A=30°.李老师想在这块三角形剩料中挖取一块最大矩形料做演示用.请你帮李老师计算所取得最大矩形料的面积为 m2 这时CE= m CF= m .
3.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体.其中抽屉底面周长为180cm高为20cm.请通过计算说明当底面的宽x为何值时抽屉的体积y最大最大为多少材质及其厚度等暂忽略不计解:已知抽屉底面宽为xcm则底面长为90-xcm.由题意得y=x90-x×20=-20x2-90x=-20x-452+40500当x=45时y有最大值最大值为
40500.答:当抽屉底面宽为45cm时抽屉的体积最大最大体积为40500cm
3.
4.工人师傅用一块长为10dm宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器需要将四角各裁掉一个正方形.厚度不计1在图中画出裁剪示意图用实线表示裁剪线虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12dm2时裁掉的正方形边长多大2若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍并将容器进行防锈处理侧面每平方分米的费用为
0.5元底面每平方分米的费用为2元裁掉的正方形边长为多少时总费用最低最低为多少解:1如图所示.设裁掉的正方形的边长为xdm由题意可得10-2x6-2x=12即x2-8x+12=0解得x=2或x=6舍去.答:裁掉的正方形的边长为2dm时长方体底面面积为12dm
2.2由题意得10-2x≤56-2x解得0x≤
2.5设总费用为w元由题意可知w=
0.5×2x16-4x+210-2x6-2x=4x2-48x+120=4x-62-24∵对称轴为直线x=6开口向上∴当0x≤
2.5时w随x的增大而减小∴当x=
2.5时w有最小值最小值为25元.答:当裁掉边长为
2.5dm的正方形时总费用最低最低费用为25元.类型2 求抛物线形运动问题
5.甲、乙两人进行羽毛球比赛羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分如图甲在O点正上方1m的P处发出一球羽毛球飞行的高度ym与水平距离xm之间满足函数表达式y=ax-42+h已知点O与球网的水平距离为5m球网的高度为
1.55m.1当a=-时
①求h的值;
②通过计算判断此球能否过网.2若甲发球过网后羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m离地面的高度为m的Q处时乙扣球成功求a的值.解:1
①当a=-时y=-x-42+h将点P01代入得-×16+h=1解得h=.
②把x=5代入y=-x-42+得y=-×5-42+=
1.625∵
1.
6251.55∴此球能过网.2把01代入y=ax-42+h得16a+h=19a+h=解得a=-.
6.李刚在一次高尔夫球的练习中在某处击球其飞行路线满足抛物线y=-x2+x其中ym是球的飞行高度xm是球飞出的水平距离结果球离球洞的水平距离还有2m.1请写出抛物线的开口方向顶点坐标对称轴;2请求出球飞行的最大水平距离;3若李刚再一次从此处击球要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞则球飞行路线应满足怎样的抛物线求出其表达式.解:1y=-x2+x=-x-42+∴抛物线y=-x2+x开口向下顶点为对称轴为直线x=
4.2令y=0得-x2+x=0解得x1=0x2=
8.∴球飞行的最大水平距离是8m.3要让球刚好进洞而飞行最大高度不变则球飞行的最大水平距离为10m∴抛物线的对称轴为直线x=5顶点为.设此时对应的抛物线的表达式为y=ax-52+又∵点00在此抛物线上∴25a+=0解得a=-∴此时球飞行路线应满足的抛物线的表达式为y=-x-52+即y=-x2+x.类型3 求抛物线形建筑物问题
7.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物大门的地面宽度为8米两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环两铁环的水平距离为6米.求校门的高.结果精确到
0.1米水泥建筑物厚度忽略不计解:以大门地面为x轴它的中垂线为y轴建立平面直角坐标系则抛物线过-4040-34三点.∵抛物线关于y轴对称可设表达式为y=ax2+c则解得a=-c=∴表达式为y=-x2+.∴顶点坐标为.∴校门的高为≈
9.1米.
8.图中是抛物线拱桥P处有一照明灯水面OA宽4m从OA两处观测P处仰角分别为αβ且tanα=tanβ=以O为原点OA所在直线为x轴建立直角坐标系.1求点P的坐标;2水面上升1m水面宽多少取
1.41结果精确到
0.1m解:1过点P作PH⊥OA于点H如图.设PH=3x在Rt△OHP中∵tanα=∴OH=6x.在Rt△AHP中∵tanβ=∴AH=2x∴OA=OH+AH=8x=4∴x=∴OH=3PH=点P的坐标为.2若水面上升1m后到达BC位置如图过点O00A40的抛物线的表达式可设为y=axx-4∵P在抛物线y=axx-4上∴3a3-4=解得a=-∴抛物线的表达式为y=-xx-
4.当y=1时-xx-4=1解得x1=2+x2=2-∴BC=2+-2-=2≈
2.
8.答:水面上升1m水面宽约为
2.8m.
9.如图需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案.按照图中的直角坐标系最左边的抛物线可以用y=ax2+bxa≠0表示.已知抛物线上BC两点到地面的距离均为m到墙边OA的距离分别为mm.1求该拋物线的函数关系式并求图案最高点到地面的距离;2若该墙的长度为10m则最多可以连续绘制几个这样的拋物线形图案解:1根据题意得BC把BC的坐标代入y=ax2+bx得解得∴拋物线的函数关系式为y=-x2+2x.∴图案最高点到地面的距离为=1m.2令y=0得-x2+2x=0解得x1=0x2=2∵10÷2=5∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线形图案.类型4 求销售中的最大利润问题
10.黄石中考小明同学在一次社会实践活动中通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律:
①该蔬菜的销售价P单位:元/千克与时间x单位:月份满足关系:P=9-x.
②该蔬菜的平均成本y单位:元/千克与时间x单位:月份满足二次函数关系y=ax2+bx+10已知4月份的平均成本为2元/千克6月份的平均成本为1元/千克.1求该二次函数的表达式;2请运用小明统计的结论求出该蔬菜在第几月份的平均利润L单位:元/千克最大最大平均利润是多少注:平均利润=销售价-平均成本解:1将x=4y=2和x=6y=1代入y=ax2+bx+10得解得∴y=x2-3x+
10.2根据题意知L=P-y=9-x-x2-3x+10=-x-42+3∴当x=4时L取得最大值最大值为
3.答:4月份的平均利润L最大最大平均利润是3元/千克.
11.某企业接到一批产品的生产任务按要求必须在14天内完成.已知每件产品的出厂价为60元.工人甲第x天生产的产品数量为y件y与x满足如下关系:y=1工人甲第几天生产的产品数量为70件2设第x天生产的产品成本为P元/件P与x的函数图象如图.工人甲第x天创造的利润为W元求W与x的函数关系式并求出第几天时利润最大最大利润是多少解:1若
7.5x=70得x=4不符合题意∴5x+10=70解得x=
12.答:工人甲第12天生产的产品数量为70件.2由函数图象知当0≤x≤4时P=40;当4x≤14时设P=kx+b将4401450代入得4k+b=4014k+b=50解得k=1b=36∴P=x+
36.
①当0≤x≤4时W=60-40×
7.5x=150x∵W随x的增大而增大∴当x=4时W最大=600元;
②当4x≤14时W=60-x-365x+10=-5x2+110x+240=-5x-112+845∴当x=11时W最大=845∵845600∴当x=11时W取得最大值最大值为845元.答:第11天时利润最大最大利润是845元.。