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文本内容:
第五章
5.
1.2垂线知识点1垂直的定义
1. 垂直:直线ab相交于点O如图当有一个夹角为90°时称直线ab互相垂直记作a⊥b或b⊥a.在图中我们用⊥作为表示两条直线互相垂直的标识它们相交的交点O叫做垂足.日常生活中如墙角、黑板、窗框、书边、课桌等都给我们垂直的形象.
2. 垂线段:过直线外一点作已知直线的垂线这点和垂足之间的线段叫做这条直线的垂线段.如图过直线l外一点P作PO⊥直线l垂足为O则线段OP叫做点P到直线l的垂线段. 知识点2垂线的画法
1. 垂线的画法:过一点画已知直线的垂线这是我们必须掌握的基本作图之一.那么如何才能画出呢具体地说来可以有下面的三种方法:1利用三角板;2利用量角器;3利用直尺和圆规.运用1或2两种工具作图时可以按下面的步骤操作:
①一贴:将三角板的一条直角边紧贴于已知直线或是将量角器的0°线与已知直线重合;
②二过:使三角板的另一直角边经过已知点或是使量角器的90°线经过这一点;
③三画:沿着已知点所在的这条直角边画出所求直线或者是沿量角器90°线所在直线画出.如图所画的PQ就是直线AB的垂线.
2. 点到直线的距离:直线外一点到这条直线垂线段的长度叫做点到直线的距离在上图中PQ的长度就是点P到直线AB的距离. 注意1垂线、垂线段的垂足都要作垂直符号;2垂线段和表示距离的线段要画出端点而垂线则可向两方延伸;3作线段射线的垂线时如果垂足在其延长线反向延长线上则应将其延长或反向延长并且用虚线表示.知识点3垂线的性质性质1:在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.这里的“过一点”的点既可以在直线上也可以在直线外;“有”表示存在“只有”则表示唯一意思是说肯定有一条并且不能多于一条.性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.简单的说成:垂线段最短.考点1:利用垂直定义求角度的大小【例1】 如图所示直线AB与CD相交于点OOE⊥AB于点O∠EOD∶∠BOD=3∶1求∠COE的度数.解:∵OE⊥AB∴∠EOB=∠AOE=90°.∵∠EOD∶∠DOB=3∶1∴∠BOD=∠EOB=×90°=
22.5°.又∵∠AOC=∠BOD=
22.5°∠COE=∠AOC+∠AOE∴∠COE=
22.5°+90°=
112.5°.点拨垂直是两条直线的位置关系而90°是一个角的大小垂直定义建立起两直线垂直与90°的角之间的联系.由于∠COE=∠AOC+∠AOE∠AOE=90°因此只需求出∠AOC即可又因为∠AOC=∠BOD故将求∠AOC的度数转化成求∠BOD的度数又由于∠EOD∶∠BOD=3∶1∠EOD+∠BOD=90°从而可求出∠BOD的度数.考点2:垂线段与点到直线的距离的应用【例2】 点P为直线m外一点点ABC为直线m上三点PA=4cmPB=5cmPC=2cm则点P到直线m的距离 A.为4cm B.为2cm C.小于2cm D.不大于2cm答案:D 点拨点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长度虽然垂线段最短但是在PAPBPC中并没有说明PC是垂线段所以垂线段的长可能小于2cm也可能等于2cm.考点3:垂线段与点到直线的距离的应用【例3】 如图点A表示小明家点B表示小明的外婆家若小明先去外婆家拿渔具然后再去河边钓鱼怎样走路最短请画出行走路线. 解:如图连接AB作BM垂直河边于点M.折线A-B-M即为所求.点拨从点A到点B的最短路线是线段AB理由是“两点之间线段最短”;从点B到河边的最短路线是点B到河边的垂线段理由是“垂线段最短”.。