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2019年高二数学上学期第二次月考试题理(特保班)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分下列各小题中,所给出的四个答案中有且仅有一个是正确的)1.i是虚数单位,复数=()A.2-iB.2+4iC.-1-2iD.1+2i2.已知命题,则该命题的否定为()A. B.C. D.3.三棱柱ABC—A1B1C1中,若,,,则()A. B. C. D.4.函数在是减函数,则的取值范围是( )A. B. C. D.5.计算( )A.-1B.1C.8D.-86.若函数图象的顶点在第四象限,则导函数的图象是右图中的( )7.观察式子,,,,则可归纳出式子为( )A.B.C.D.8.若函数在区间内可导,且,则的值为()A B C D9.方程表示的曲线为( )A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.圆10.已知函数的图像如图所示,的导函数,则下列数值排序正确的()A.B.C.D.11.在棱长为的正方体内任取一点,则点到点的距离小等于的概率为( ) A. B.C. D.12.已知双曲线的两个焦点为,为坐标原点,点在双曲线上,且,若、、成等比数列,则等于( ) A. B.C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)13.已知向量,若,则*****;14.一条长为的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,则两个正方形的边长各是*****,*****;15.已知点是抛物线上的动点,点在轴上的射影是,,则的最小值是**********.16.设S为复数集C的非空子集.若对任意,都有,则称S为封闭集下列命题1集合S={a+bi|(为整数,为虚数单位)}为封闭集;2封闭集一定是无限集;3若S为封闭集,则一定有;
④若S为封闭集,则满足的任意集合也是封闭集.4其中真命题是(写出所有真命题的序号)
三、解答题(本大题共6小题,共74分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)如图,直三棱柱,底面中,,,棱,分别是的中点.1求证;2求直线与平面所成的角的正弦值.18.(本小题满分12分)设向量,,其中.
(1)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果;
(2)记“使得成立的(m,n)”为事件,求事件发生的概率.19.(本小题满分12分)已知函数在时有极值,其图象在点处的切线与直线平行.
(1)求的值和函数的单调区间;
(2)若当时,恒有,试确定的取值范围.20.(本小题满分12分) 正四棱柱中,,点在上,且.1 证明平面;2 求二面角的余弦值.
22.(本小题满分13分)已知椭圆的焦点在轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆于、两点,设点是线段上的一个动点,且,求的取值范围;
(3)设点是点关于轴的对称点,在轴上是否存在一个定点,使得、、三点共线?若存在,求出定点的坐标,若不存在,请说明理由.一选择题1-6DCDBCA7-12BCABDA
二、填空题
13、-
614、
15、
16、
①
③
三、解答题17.解
(1)分别是的中点.∴又因为∴……4分
(2)由, 得,即∴以为原点,分别以所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系,,,,,设平面的法向量,则,取设直线与平面所成的角为,∴,故直线与平面所成的角的正弦值是. …………12分18.解1 有序数组的所有可能结果为
(11),
(12),
(13),
(14),
(21),
(22),
(23),
(24),
(31),
(32),
(33),
(34),
(41),
(42),
(43),
(44),共有16个…6分2∵ ,∴ 由,得,即.由于,故事件A包含的基本条件为
(21)和
(34)共2个.又基本事件的总数为16,故所求的概率. …………………12分20.解
(1)以为坐标原点,分别以、DC、DD1所在的直线为轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系.则.,.有 ,,故,.又,所以平面. ……………6分
(2)由
(1)得是平面的一个法向量,设向量是平面的法向量,则,令,则,,取.∴ 所以二面角的余弦值为 ……………12分21.解
(1)依题意有. ………3分
(2)由
(1)得,则在区间上有意义,即 对恒成立,得,令 ,先证其单调递增法1∵ 在上恒成立,故在递增,法2任取,则因为,则,故在递增,则,得.…8分
(3)构造函数结合图象有
①当时,正根的个数为0;如图一
②当时,正根的个数为1;如图二
③当时,正根的个数为2;如图三 ……………13分22.解
(1)设椭圆方程为,由题意,又,∴,故椭圆方程为. ………4分
(2)由
(1)得右焦点,则,设的方程为()代入,得,,∴,设则,,且,.∴,由,得,即,,,∴当时,有成立. ………9分
(3)在轴上存在定点,使得、、三点共线.依题意,直线的方程为,令,则,点在直线上, ∴ ,∴ ,∴ 在轴上存在定点,使得、、三点共线. ……13分yx2O3(第10题图)图三图二图一。