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2019年高考数学第六章第6课时直接证明与间接证明知能演练轻松闯关新人教A版1.命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成立 A.不成立B.成立C.不能断定D.能断定解析选B.∵Sn=2n2-3n,∴Sn-1=2n-12-3n-1n≥2,∴an=Sn-Sn-1=4n-5当n=1时,a1=S1=-1符合上式.∴an+1-an=4n≥1,∴{an}是等差数列.2.xx·山西大同调研用反证法证明命题“若a,b∈N,ab能被3整除,那么a,b中至少有一个能被3整除”时,假设应为 A.a,b都能被3整除B.a,b都不能被3整除C.b不能被3整除D.a不能被3整除解析选B.由反证法的定义可知,否定结论,即“a,b中至少有一个能被3整除”的否定是“a,b都不能被3整除”.3.若P=+,Q=+a≥0,则P、Q的大小关系是 A.PQB.P=QC.PQD.由a的取值确定解析选C.假设PQ,要证PQ,只要证P2Q2,只需证2a+7+22a+7+2,只要证a2+7aa2+7a+12,只要证012,∵012成立,∴PQ成立.4.不相等的三个正数a,b,c成等差数列,并且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则x2,b2,y2三数 A.成等比数列而非等差数列B.成等差数列而非等比数列C.既成等差数列又成等比数列D.既非等差数列又非等比数列解析选B.由已知条件,可得由
②③得代入
①,得+=2b,即x2+y2=2b
2.故x2,b2,y2成等差数列.5.xx·宁夏银川模拟设a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断
①a-b2+b-c2+c-a2≠0;
②ab,ab及a=b中至少有一个成立;
③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立,其中正确判断的个数为 A.0B.1C.2D.3解析选C.
①②正确;
③中,a≠b,b≠c,a≠c可以同时成立,如a=1,b=2,c=3,故正确的判断有2个.6.设a=+2,b=2+,则a,b的大小关系为________.解析a=+2,b=2+,两式的两边分别平方,可得a2=11+4,b2=11+4,显然,∴aB.答案ab7.xx·福建福州模拟如果a+b>a+b,则a,b应满足的条件是__________.解析a+b>a+b,即-2+>0,需满足a≥0,b≥0且a≠B.答案a≥0,b≥0且a≠b8.已知a、b、c满足cba,且ac0,那么下列结论中一定成立的是________只填序号.
①abac;
②cb-a0;
③cb2ab2;
④aca-c
0.解析⇒abac不等式的可乘性,故
①成立,当b=0时
③不成立.答案
①9.已知a0,-1,求证.证明∵-1,a0,∴0b1,要证,只需证·1,只需证1+a-b-ab1,只需证a-b-ab0,即1,即-
1.这是已知条件,所以原不等式成立.10.△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,C.求证+=.证明要证+=,即证+=3也就是+=1,只需证cb+c+aa+b=a+bb+c,需证c2+a2=ac+b
2.又△ABC三内角A,B,C成等差数列,故B=60°,由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos60°,即b2=c2+a2-ac;故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.[能力提升]1.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则 A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形解析选D.由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,假设△A2B2C2是锐角三角形.由得那么,A2+B2+C2=,这与三角形内角和为180°相矛盾.所以假设不成立,又显然△A2B2C2不是直角三角形,所以△A2B2C2是钝角三角形.2.设fx是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,fx单调递减,若x1+x20,则fx1+fx2的值 A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负解析选A.由fx是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,fx单调递减,可知fx是R上的单调递减函数,由x1+x20,可知x1-x2,fx1f-x2=-fx2,则fx1+fx
20.3.已知点Ann,an为函数y=图象上的点,Bnn,bn为函数y=x图象上的点,其中n∈N*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为________.解析由条件得cn=an-bn=-n=,∴cn随n的增大而减小,∴cn+1cn.答案cn+1cn4.某同学准备用反证法证明如下一个问题函数fx在[0,1]上有意义,且f0=f1,如果对于不同的x1,x2∈[0,1],都有|fx1-fx2||x1-x2|,求证|fx1-fx2|,那么他的反设应该是________.答案“∃x1,x2∈[0,1],使得|fx1-fx2||x1-x2|,则|fx1-fx2|≥”5.已知fx=ax2+bx+c,若a+c=0,fx在[-1,1]上的最大值为2,最小值为-.求证a≠0且
2.证明假设a=0或≥
2.1当a=0时,由a+c=0,得fx=bx,显然b≠
0.由题意,得fx=bx在[-1,1]上是单调函数,所以fx的最大值为|b|,最小值为-|b|.由已知条件,得|b|+-|b|=2-=-,这与|b|+-|b|=0相矛盾,所以a≠
0.2当≥2时,由二次函数的对称轴为直线x=-,知fx在[-1,1]上是单调函数,故其最值在区间的端点处取得.所以或又a+c=0,则此时b无解,所以
2.由12,得a≠0且
2.6.选做题已知二次函数fx=ax2+bx+ca0的图象与x轴有两个不同的交点,若fc=0,且0xc时,fx
0.1证明是fx=0的一个根;2试比较与c的大小;3证明-2b-
1.解1证明∵fx的图象与x轴有两个不同的交点,∴fx=0有两个不等实根x1,x2,∵fc=0,∴x1=c是fx=0的根,又x1x2=,∴x2=,∴是fx=0的一个根.2假设c,又0,由0xc时,fx0,知f0与f=0矛盾,∴≥C.又∵≠c,∴C.3证明由fc=0,得ac+b+1=0,∴b=-1-aC.又a0,c0,∴b-
1.二次函数fx的图象的对称轴方程为x=-==x2=,即-.又a0,∴b-2,∴-2b-
1.。