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2019年高考数学一轮复习
8.6双曲线课时作业理(含解析)新人教A版
一、选择题1.xx·吉林市期中复习检测设双曲线-=1a0的渐近线方程为3x±4y=0,则双曲线的离心率为 A.B.C.D.解析由双曲线的渐近线方程为3x±4y=0知a2=16,双曲线的离心率为e==,故选B.答案B2.xx·北京朝阳期末考试已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F1-,0,点P在双曲线上,且线段PF1的中点坐标为02,则此双曲线的方程是 A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1解析由题可知c=,线段PF1的中点坐标为02,画图可得P,4,故可得双曲线方程为x2-=
1.答案B3.xx·湖北武汉高三调研测试已知椭圆+y2=1m1和双曲线-y2=1n0有相同的焦点F
1、F2,P是它们的一个交点,则△F1PF2的形状是 A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随m、n变化而变化解析如图,对椭圆+y2=1m1,c2=m-1,|PF1|+|PF2|=2,对双曲线-y2=1,c2=n+1,|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=+,|PF2|=-,2c2=2m+n,而|PF1|2+|PF2|2=2m+n=2c2,∴△F1PF2是直角三角形.选B.答案B4.xx·山东滨州模拟圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线C的离心率为 A.或B.或2C.或2D.或解析不妨设|PF1|=4x,|F1F2|=3x,|PF2|=2x,若此曲线为椭圆,则有|PF1|+|PF2|=6x=2a,|F1F2|=3x=2c,所以离心率为e===,若此曲线为双曲线,则有|PF1|-|PF2|=2x=2a,此时离心率e===,故选D.答案D5.xx·马鞍山第一次质检斜率为的直线与双曲线-=1a0,b0恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是 A.[2,+∞B.,+∞C.1,D.2,+∞解析由双曲线的性质知,即得c2-a23a2,e
2.答案D6.xx·河北沧州质量监测已知双曲线的方程为-=1,且右顶点到直线y=x-4的距离为,则双曲线的离心率等于 A.B.C.或D.或解析双曲线的右顶点为,0,它到y=x-4的距离为d==,解得m=25或
9.∴a=5或3,∴e==或.答案D7.xx·郑州第二次质量预测如图所示,F1,F2是双曲线-=1a0,b0的两个焦点,以坐标原点O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线的左支的两个交点分别为A,B,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为 A.+1B.+1C.D.解析连接OA,AF1,|OA|=|OF2|=c,因△AF2B为等边三角形,∴∠AF2O=∠F2AO=30°,∠AOF2=120°,|AF2|=c,△AF1O为等边三角形,∴|AF1|=c,|AF2|-|AF1|=c-c=2a,∴e===+1,选B.答案B8.xx·重庆市模拟已知A是双曲线-=1a0,b0的左顶点,F
1、F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线上一点,G是△PF1F2的重心,若=λ,则双曲线的离心率为 A.2B.3C.4D.与λ的取值有关解析由已知=λ知GA∥PF1,即△OAG∽△OF1P,得===得e==3,故选B.答案B
二、填空题9.xx·茂名市第一次模拟已知双曲线x2-ky2=1的一个焦点是,0,则其渐近线方程为________.解析由方程知a2=1,b2=,∴c2=5=1+,∴k=,即b2=4,∴渐近线方程为y=±x=±2x.答案y=±2x10.xx·浙江五校第二次联考已知双曲线-=1a0,b0的渐近线与圆x2+y2-4x+2=0有交点,则该双曲线的离心率的取值范围是________.解析渐近线与圆有交点,即圆心20到直线y=x的距离小于等于半径r,则d=≤⇒c2≤2a2⇒1e≤.答案11.xx·温州市高三第二次适应性测试已知F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°.延长AF2交双曲线右支于点B,则△F1AB的面积等于________.解析由题知a=1,根据双曲线定义|AF1|-|AF2|=2a所以|AF1|=4,|BF1|-|BF2|=2,∴|BF1|=2+|BF2|由图知|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|∴|BA|=|BF1|,△ABF1为等腰三角形,又因∠F1AF2=45°,所以∠ABF1=90°,则△ABF1为等腰直角三角形,所以|AB|=|BF1|=
2.所以S△F1AB=×2×2=
4.答案4
三、解答题12.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点4,-.点M3,m在双曲线上.1求双曲线方程;2求证·=0;3求△F1MF2面积.解1∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ.∵过点4,-,∴16-10=λ,即λ=
6.∴双曲线方程为x2-y2=
6.2证明由1可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1-2,0,F22,0,∵=-3-2,-m,=2-3,-m,∴·=3+2×3-2+m2=-3+m2,∵M点在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,∴·=
0.3△F1MF2的底|F1F2|=4,由2知m=±.∴△F1MF2的高h=|m|=,∴S△F1MF2=
6.13.xx·江西红色六校高三第二次联考如图,直角坐标系xOy中,一直角三角形ABC,∠C=90°,B、C在x轴上且关于原点O对称,D在边BC上,BD=3DC,△ABC的周长为
12.若一双曲线E以B、C为焦点,且经过A、D两点.1求双曲线E的方程;2若一过点Pm0m为非零常数的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N,且=λ,问在x轴上是否存在定点G,使⊥-λ?若存在,求出所有这样定点G的坐标;若不存在,请说明理由.解1设双曲线E的方程为-=1a0,b0,则B-c0,Da0,Cc0.由BD=3DC,得c+a=3c-a,得c=2a.∴解之得a=1,∴c=2,b=.∴双曲线E的方程为x2-=
1.2设在x轴上存在定点Gt0,使⊥-λ.设直线l的方程为x-m=ky,Mx1,y1,Nx2,y2.由=λ,得y1+λy2=
0.即λ=-
①∵=40,-λ=x1-t-λx2+λt,y1-λy2,∴⊥-λ⇔x1-t=λx2-t.即ky1+m-t=λky2+m-t.
②把
①代入
②,得2ky1y2+m-ty1+y2=0
③把x-m=ky代入x2-=1并整理得3k2-1y2+6kmy+3m2-1=0其中3k2-1≠0且Δ0,即k2≠且3k2+m
21.y1+y2=,y1y2=.代入
③,得-=0,化简得kmt=k,当t=时,上式恒成立.因此,在x轴上存在定点G,使⊥-λ.[热点预测]14.1xx·南平质检已知双曲线Γ-=1a0,b0的离心率为2,过双曲线Γ的左焦点F作圆O x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A、B,则∠AFB= A.45°B.60°C.90°D.120°2xx·石家庄质检二F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点.若△ABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为 A.2B.C.D.解析1双曲线的离心率为2,所以c=2a,由题可得如图,所以∠AFB=60°.2画出图形,由双曲线的定义得|BF1|-|BF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,又∵△ABF2为等边三角形,∴|AF1|=2a,|AF2|=4a,|BF2|=|BA|=4a,|BF1|=6a,△BF1F2中|F1F2|=2c,∠F1BF2=60°.∴由余弦定理可得4c2=36a2+16a2-2×6a×4a×,离心率e==,故选B.答案1B 2B。