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2019年高考数学一轮复习第2讲直接证明与间接证明同步检测文
一、选择题
1.“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故该奇数是3的倍数.”上述推理 A小前提错 B结论错C正确D大前提错解析大前提,小前提都正确,推理正确,故选C.答案C2.对于平面α和共面的直线m,n,下列命题中真命题是 .A.若m⊥α,m⊥n,则n∥αB.若m∥α,n∥α,则m∥nC.若m⊂α,n∥α,则m∥nD.若m,n与α所成的角相等,则m∥n解析 对于平面α和共面的直线m,n,真命题是“若m⊂α,n∥α,则m∥n”.答案 C3.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明 .A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.a2-1b2-1≥0解析 因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔a2-1b2-1≥0,故选D.答案 D4.命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成立 .A.不成立B.成立C.不能断定D.能断定解析 ∵Sn=2n2-3n,∴Sn-1=2n-12-3n-1n≥2,∴an=Sn-Sn-1=4n-5n=1时,a1=S1=-1符合上式.又∵an+1-an=4n≥1,∴{an}是等差数列.答案 B5.设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+ .A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2解析 ∵a>0,b>0,c>0,∴++=++≥6,当且仅当a=b=c时,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于
2.答案 D6.定义一种运算“*”对于自然数n满足以下运算性质n+1*1=n*1+1,则n*1= .A.nB.n+1C.n-1D.n2解析 由n+1*1=n*1+1,得n*1=n-1*1+1=n-2*1+2=…=n.答案 A
二、填空题7.要证明“+<2”可选择的方法有以下几种,其中最合理的是________填序号.
①反证法,
②分析法,
③综合法.答案
②8.设ab0,m=-,n=,则m,n的大小关系是________.解析 取a=2,b=1,得mn.再用分析法证明-⇐+⇐ab+2·+a-b⇐2·0,显然成立.答案 mn9.已知a,b,μ∈0,+∞且+=1,则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是________.解析 ∵a,b∈0,+∞且+=1,∴a+b=a+b=10+≥10+2=16,∴a+b的最小值为
16.∴要使a+b≥μ恒成立,需16≥μ,∴0μ≤
16.答案 016]10.若a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断
①a-b2+b-c2+c-a2≠0;
②ab与ab及a=b中至少有一个成立;
③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.其中判断正确的是_______.解析
①②正确;
③中a≠c,b≠c,a≠b可能同时成立,如a=1,b=2,c=
3.选C.答案
①②
三、解答题11.已知非零向量a,b,且a⊥b,求证≤.证明 a⊥b⇔a·b=0,要证≤.只需证|a|+|b|≤|a+b|,只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2a·b+b2,只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2,只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,即|a|-|b|2≥0,上式显然成立,故原不等式得证.12.设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.1求证数列{Sn}不是等比数列;2数列{Sn}是等差数列吗?为什么?1证明 假设数列{Sn}是等比数列,则S=S1S3,即a1+q2=a1·a1·1+q+q2,因为a1≠0,所以1+q2=1+q+q2,即q=0,这与公比q≠0矛盾,所以数列{Sn}不是等比数列.2解 当q=1时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列;当q≠1时,{Sn}不是等差数列,否则2S2=S1+S3,即2a11+q=a1+a11+q+q2,得q=0,这与公比q≠0矛盾.13.已知fx=x2+ax+b.1求f1+f3-2f2;2求证|f1|,|f2|,|f3|中至少有一个不小于.1解 ∵f1=a+b+1,f2=2a+b+4,f3=3a+b+9,∴f1+f3-2f2=
2.2证明 假设|f1|,|f2|,|f3|都小于.则-f1,-f2,-f3,∴-1-2f21,-1f1+f
31.∴-2f1+f3-2f22,这与f1+f3-2f2=2矛盾.∴假设错误,即所证结论成立.14.已知二次函数fx=ax2+bx+ca>0的图象与x轴有两个不同的交点,若fc=0,且0<x<c时,fx>
0.1证明是fx=0的一个根;2试比较与c的大小;3证明-2<b<-
1.解1证明 ∵fx的图象与x轴有两个不同的交点,∴fx=0有两个不等实根x1,x2,∵fc=0,∴x1=c是fx=0的根,又x1x2=,∴x2=,∴是fx=0的一个根.2假设<c,又>0,由0<x<c时,fx>0,知f>0与f=0矛盾,∴≥c,又∵≠c,∴>c.3证明 由fc=0,得ac+b+1=0,∴b=-1-ac.又a>0,c>0,∴b<-
1.二次函数fx的图象的对称轴方程为x=-=<=x2=,即-<.又a>0,∴b>-2,∴-2<b<-
1.。