还剩3页未读,继续阅读
文本内容:
2019年高考数学一轮复习第6讲空间向量及其运算同步检测文
一、选择题1.以下四个命题中正确的是 .A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间向量的另一组基底C.△ABC为直角三角形的充要条件是·=0D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析 若a+b、b+c、c+a为共面向量,则a+b=λb+c+μc+a,1-μa=λ-1b+λ+μc,λ,μ不可能同时为1,设μ≠1,则a=b+c,则a、b、c为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量基底矛盾.答案 B2.若向量a=11,x,b=121,c=111,满足条件c-a·2b=-2,则x= .A.-4B.-2C.4D.2解析 ∵a=11,x,b=121,c=111,∴c-a=001-x,2b=242.∴c-a·2b=21-x=-2,∴x=
2.答案 D3.若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是 .A.{a,a+b,a-b}B.{b,a+b,a-b}C.{c,a+b,a-b}D.{a+b,a-b,a+2b}解析 若c、a+b、a-b共面,则c=λa+b+ma-b=λ+ma+λ-mb,则a、b、c为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量的一组基底矛盾,故c,a+b,a-b可构成空间向量的一组基底.答案 C
4.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值为 .A.0 B.C. D.解析 设=a,=b,=c,由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉=,且|b|=|c|,·=a·c-b=a·c-a·b=|a||c|-|a||b|=0,∴cos〈,〉=
0.答案 A5.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是 .A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b+cD.a-b+c解析 =+=+-=c+b-a=-a+b+c.答案 A6.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是 A.B.C.1D.解析=++,∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-,故||=.答案 D
二、填空题
7.设R,向量,且,则解析.答案
8.在空间四边形ABCD中,·+·+·=________.解析 如图,设=a,=b,=c,·+·+·=a·c-b+b·a-c+c·b-a=
0.答案 09.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,
①++2=32;
②·-=0;
③向量与向量的夹角是60°;
④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________.解析由⊥,⊥,⊥⊥,得++2=32,故
①正确;
②中-=,由于AB1⊥A1C,故
②正确;
③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°,但与的夹角为120°,故
③不正确;
④中|··|=
0.故
④也不正确.答案
①②10.如图,空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,则OA与BC所成角的余弦值等于________.解析 设=a,=b,=c.OA与BC所成的角为θ,·=ac-b=a·c-a·b=a·a+-a·a+=a2+a·-a2-a·=24-
16.∴cosθ===.答案
三、解答题11.已知A、B、C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足=++.1判断、、三个向量是否共面;2判断点M是否在平面ABC内.解 1由已知++=3,∴-=-+-,即=+=--,∴,,共面.2由1知,,,共面且基线过同一点M,∴四点M,A,B,C共面,从而点M在平面ABC内.12.把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角,点E、F分别是AD、BC的中点,点O是原正方形的中心,求1EF的长;2折起后∠EOF的大小.解如图,以O点为原点建立空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-a0),B(a00),C(0,a0),D(00,a),E(0,-a,a),F(a,a0).1||2=2+2+2=a2,∴|EF|=a.2=,=,·=0×a+×+a×0=-,||=,||=,cos〈,〉==-,∴∠EOF=120°.13.如图,已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM∶GA=1∶
3.求证B、G、N三点共线.证明 设=a,=b,=c,则=+=+=-a+a+b+c=-a+b+c,=+=++=-a+b+c=.∴∥,即B、G、N三点共线.14.如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB、AD、CD的中点,计算1·;2·;3EG的长;4异面直线AG与CE所成角的余弦值.解 设=a,=b,=c.则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,1==c-a,=-a,=b-c,·=·-a=a2-a·c=,2·=c-a·b-c=b·c-a·b-c2+a·c=-;3=++=a+b-a+c-b=-a+b+c,||2=a2+b2+c2-a·b+b·c-c·a=,则||=.4=b+c,=+=-b+a,cos〈,〉==-,由于异面直线所成角的范围是0°,90°],所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.。