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2019年高考数学一轮复习第九章第五节直接证明与间接证明演练知能检测文[全盘巩固]1.用反证法证明若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有有理数根,那么a、b、c中至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是 A.假设a、b、c都是偶数B.假设a、b、c都不是偶数C.假设a、b、c至多有一个偶数D.假设a、b、c至多有两个偶数解析选B “至少有一个”的否定为“都不是”.2.设fx是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,fx单调递减,若x1+x20,则fx1+fx2的值 A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负解析选A 由fx是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,fx单调递减,可知fx是R上的单调递减函数,由x1+x20,可知x1-x2,fx1f-x2=-fx2,则fx1+fx
20.3.xx·嘉兴模拟已知函数fx=x,a,b为正实数,A=f,B=f,C=f,则A,B,C的大小关系为 A.A≤B≤CB.A≤C≤BC.B≤C≤AD.C≤B≤A解析选A ≥≥,又fx=x在R上是单调减函数,故f≤f≤f.4.若P=+,Q=+a≥0,则P、Q的大小关系是 A.PQB.P=QC.PQD.由a的取值确定解析选C 假设PQ,要证PQ,只要证P2Q2,只要证2a+7+22a+7+2,只要证a2+7aa2+7a+12,只要证012,∵012成立,∴PQ成立.5.不相等的三个正数a,b,c成等差数列,并且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则x2,b2,y2三数 A.成等比数列而非等差数列B.成等差数列而非等比数列C.既成等差数列又成等比数列D.既非等差数列又非等比数列解析选B 由已知条件,可得由
②③,得代入
①,得+=2b,即x2+y2=2b
2.故x2,b2,y2成等差数列.6.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则 A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形解析选D 由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则A1B1C1是锐角三角形,假设△A2B2C2是锐角三角形.由得那么A2+B2+C2=,这与三角形内角和为180°相矛盾.所以假设不成立,又由已知可得△A2B2C2不是直角三角形,所以△A2B2C2是钝角三角形.7.用反证法证明命题“a,b∈R,ab可以被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是_________________________________________________________.解析“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”,故应假设a,b中没有一个能被5整除.答案a,b中没有一个能被5整除8.设a、b是两个实数,给出下列条件
①a+b1;
②a+b=2;
③a+b2;
④a2+b22;
⑤ab
1.其中能推出“a、b中至少有一个大于1”的条件是________填序号.解析若a=,b=,则a+b
1.但a1,b1,故
①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故
②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b22,故
④推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故
⑤推不出;对于
③,即a+b2,则a、b中至少有一个大于
1.反证法假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b2矛盾,因此假设不成立,故a、b中至少有一个大于
1.答案
③9.若二次函数fx=4x2-2p-2x-2p2-p+1,在区间[-11]内至少存在一点c,使fc0,则实数p的取值范围是________.解析法一补集法令解得p≤-3或p≥,故满足条件的p的范围为.法二直接法依题意有f-10或f10,即2p2-p-10或2p2+3p-90,得-p1或-3p,故满足条件的p的取值范围是.答案10.已知a0,-
1.求证.证明∵-1,a0,∴0b1,要证,只需证·1,只需证1+a-b-ab1,只需证a-b-ab0,即1,即-
1.这是已知条件,所以原不等式成立.11.设Sn表示数列{an}的前n项和.1若{an}为等差数列,推导Sn的计算公式;2若a1=1,q≠0,且对所有正整数n,有Sn=.判断{an}是否为等比数列,并证明你的结论.解1法一设{an}的公差为d,则Sn=a1+a2+…+an=a1+a1+d+…+[a1+n-1d],又Sn=an+an-d+…+[an-n-1d],∴2Sn=na1+an,∴Sn=.法二设{an}的公差为d,则Sn=a1+a2+…+an=a1+a1+d+…+[a1+n-1d],又Sn=an+an-1+…+a1=[a1+n-1d]+[a1+n-2d]+…+a1,∴2Sn=[2a1+n-1d]+[2a1+n-1d]+…+[2a1+n-1d]=2na1+nn-1d,∴Sn=na1+d.2{an}是等比数列.证明如下∵Sn=,∴an+1=Sn+1-Sn=-==qn.∵a1=1,q≠0,∴当n≥1时,有==q,因此,{an}是首项为1且公比为q的等比数列.12.xx·北京高考给定数列a1,a2,…,an,对i=12,3,…,n-1,该数列前i项的最大值记为Ai,后n-i项ai+1,ai+2,…,an的最小值记为Bi,di=Ai-Bi.1设数列{an}为3471,写出d1,d2,d3的值;2设a1,a2,…,ann≥4是公比大于1的等比数列,且a10,证明d1,d2,…,dn-1是等比数列;3设d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差数列,且d10,证明a1,a2,…,an-1是等差数列.解1d1=2,d2=3,d3=
6.2证明因为a10,公比q1,所以a1,a2,…,an是递增数列.因此,对i=12,…,n-1,Ai=ai,Bi=ai+
1.于是对i=12,…,n-1,di=Ai-Bi=ai-ai+1=a11-qqi-
1.因此di≠0且=qi=12,…,n-2,即d1,d2,…,dn-1是等比数列.3证明设d为d1,d2,…,dn-1的公差.对1≤i≤n-2,因为Bi≤Bi+1,d0,所以Ai+1=Bi+1+di+1≥Bi+di+dBi+di=Ai.又因为Ai+1=max{Ai,ai+1},所以ai+1=Ai+1Ai≥ai.从而a1,a2,…,an-1是递增数列.因此Ai=aii=12,…,n-1.又因为B1=A1-d1=a1-d1a1,所以B1a1a2…an-
1.因此an=B
1.所以B1=B2=…=Bn-1=an.所以ai=Ai=Bi+di=an+di.因此对i=12,…,n-2都有ai+1-ai=di+1-di=d,即a1,a2,…,an-1是等差数列.[冲击名校]设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合
①≤an+1;
②an≤M,其中n∈N*,M是与n无关的常数.1若{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,a3=4,S3=18,试探究{Sn}与集合W之间的关系;2设数列{bn}的通项为bn=5n-2n,且{bn}∈W,M的最小值为m,求m的值;3在2的条件下,设Cn=[bn+m-5n]+,求证数列{Cn}中任意不同的三项都不能成为等比数列.解1∵a3=4,S3=18,∴a1=8,d=-
2.∴Sn=-n2+9n.Sn+1满足条件
①,Sn=-2+,当n=4或5时,Sn取最大值
20.∴Sn≤20满足条件
②,∴{Sn}∈W.2bn=5n-2n可知{bn}中最大项是b3=7,∴M≥7,M的最小值为
7.3证明由2知Cn=n+,假设{Cn}中存在三项cp,cq,crp,q,r互不相等成等比数列,则c=cp·cr,∴q+2=p+r+,∴q2-pr+2q-p-r=
0.∵p,q,r∈N*,∴消去q得p-r2=0,∴p=r,与p≠r矛盾.∴{Cn}中任意不同的三项都不能成为等比数列.。