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2019年高考数学一轮总复习
10.3抛物线题组训练理苏教版建议用时40分钟
一、填空题1.点M53到抛物线y=ax2的准线的距离为6,那么抛物线的方程是________.解析 分两类a0,a0可得y=x2,y=-x
2.答案 y=x2或y=-x22.若点P到直线y=-1的距离比它到点03的距离小2,则点P的轨迹方程是________.解析 由题意可知点P到直线y=-3的距离等于它到点03的距离,故点P的轨迹是以点03为焦点,以y=-3为准线的抛物线,且p=6,所以其标准方程为x2=12y.答案 x2=12y3.xx·济宁模拟已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2pxp>0的准线相切,则p的值为________.解析 圆的标准方程为x-32+y2=16,圆心为30,半径为
4.圆心到准线的距离为3-=4,解得p=
2.答案 24.xx·四川卷改编抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是________.解析 由抛物线方程知2p=8⇒p=4,故焦点F20,由点到直线的距离公式知,F到直线x-y=0的距离d==
1.答案 15.xx·潍坊一模已知抛物线y2=2pxp>0的焦点F与双曲线-=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|=|AF|,则A点的横坐标为________.解析 抛物线的焦点为,准线为x=-.双曲线的右焦点为30,所以=3,即p=6,即y2=12x.过A做准线的垂线,垂足为M,则|AK|=|AF|=|AM|,即|KM|=|AM|,设Ax,y,则y=x+3,代入y2=12x,解得x=
3.答案 36.已知抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|=4,则点M的横坐标x0=________.解析 抛物线y2=4x的焦点为F10,准线为x=-
1.根据抛物线的定义,点M到准线的距离为4,则M的横坐标为
3.答案 37.xx·新课标全国Ⅱ卷改编设抛物线C y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为________.解析 法一 由|AF|=3|BF|,得=3,而F点坐标为10,设Bx0,y0,则从而可解得A的坐标为4-3x0,-3y0,因为点A,B都在抛物线上,所以解得x0=,y0=±,所以kl==±.则过点F的直线方程为y=x-1或y=-x-1.法二 结合焦点弦公式|AB|=及+=求解,设直线AB的倾斜角为θ,由题意知p=2,F10,=3,又+=,∴+=1,∴|BF|=,|AF|=4,∴|AB|=.又由抛物线焦点弦公式|AB|=,∴=,∴sin2θ=,∴sinθ=,∴k=tanθ=±.答案 y=x-1或y=-x-18.xx·陕西卷如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽________米.解析 如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2pyp>0.由题意A2,-2代入x2=-2py,得p=1,故x2=-2y.设Bx,-3,代入x2=-2y中,得x=,故水面宽为2米.答案 2
二、解答题9.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M-3,m到焦点的距离为5,求抛物线的方程和m的值.解 法一 根据已知条件,抛物线方程可设为y2=-2pxp>0,则焦点F.∵点M-3,m在抛物线上,且|MF|=5,故解得或∴抛物线方程为y2=-8x,m=±
2.法二 设抛物线方程为y2=-2pxp0,则准线方程为x=,由抛物线定义,M点到焦点的距离等于M点到准线的距离,所以有--3=5,∴p=
4.∴所求抛物线方程为y2=-8x,又∵点M-3,m在抛物线上,故m2=-8×-3,∴m=±
2.10.设抛物线C y2=4x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点.1设l的斜率为1,求|AB|的大小;2求证·是一个定值.1解 ∵由题意可知抛物线的焦点F为10,准线方程为x=-1,∴直线l的方程为y=x-1,设Ax1,y1,Bx2,y2,由得x2-6x+1=0,∴x1+x2=6,由直线l过焦点,则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=
8.2证明 设直线l的方程为x=ky+1,由得y2-4ky-4=0,∴y=4k+2∴y1+y2=4k,y1y2=-4,=x1,y1,=x2,y2.∵·=x1x2+y1y2=ky1+1ky2+1+y1y2=k2y1y2+ky1+y2+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-
3.∴·是一个定值.能力提升题组建议用时25分钟
一、填空题1.已知双曲线C1-=1a0,b0的离心率为
2.若抛物线C2x2=2pyp0的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为________.解析 ∵-=1的离心率为2,∴=2,即==4,∴=.x2=2py的焦点坐标为,-=1的渐近线方程为y=±x,即y=±x.由题意,得=2,∴p=
8.故C2x2=16y.答案 x2=16y2.xx·洛阳统考已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是________.解析 由题意知,抛物线的焦点为F10.设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-
1.易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d+|PF|的最小值为=,所以d+|PF|-1的最小值为-
1.答案 -13.xx·泰州二模已知椭圆C+=1的右焦点为F,抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的倾斜角为120°,那么|PF|=________.解析 抛物线的焦点坐标为F10,准线方程为x=-
1.因为直线AF的倾斜角为120°,所以tan120°=,所以yA=
2.因为PA⊥l,所以yP=yA=2,代入y2=4x,得xA=3,所以|PF|=|PA|=3--1=
4.答案 4
二、解答题4.xx·台州质量评估已知抛物线C x2=4y的焦点为F,过点K0,-1的直线l与C相交于A,B两点,点A关于y轴的对称点为D.1证明点F在直线BD上;2设·=,求∠DBK的平分线与y轴的交点坐标.1证明 设Ax1,y1,Bx2,y2,D-x1,y1,l的方程为y=kx-1,由得x2-4kx+4=0,x=2k±2从而x1+x2=4k,x1x2=
4.直线BD的方程为y-y1=x+x1,即y-=x+x1,令x=0,得y==1,所以点F在直线BD上.2解 因为·=x1,y1-1·x2,y2-1=x1x2+y1-1y2-1=8-4k2,故8-4k2=,解得k=±,所以l的方程为4x-3y-3=04x+3y+3=
0.又由1得x2-x1=±=±,故直线BD的斜率为=±,因而直线BD的方程为x-3y+3=0,x+3y-3=
0.设∠DBK的平分线与y轴的交点为M0,t,则M0,t到l及BD的距离分别为,,由=,得t=或t=9舍去,所以∠DBK的平分线与y轴的交点为M.。