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2019年高考数学一轮总复习
10.5曲线与方程题组训练理苏教版
一、填空题1.方程x-y2+xy-12=0的曲线是________.解析 由x-y2+xy-12=0得∴或即方程表示两个点11和-1,-1.答案 两个点11和-1,-12.若M,N为两个定点,且|MN|=6,动点P满足·=0,则P点的轨迹是________.解析 ∵·=0,∴PM⊥PN.∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆.答案 圆3.xx·珠海模拟已知点A10,直线l y=2x-4,点R是直线l上的一点,若=,则点P的轨迹方程为________.解析 设Px,y,Rx1,y1,由=知,点A是线段RP的中点,∴即∵点Rx1,y1在直线y=2x-4上,∴y1=2x1-4,∴-y=22-x-4,即y=2x.答案 y=2x4.已知动圆圆心在抛物线y2=4x上,且动圆恒与直线x=-1相切,则此动圆必过定点________.解析 直线x=-1是抛物线y2=4x的准线,由抛物线定义知,动圆一定过抛物线的焦点10.答案 105.xx·广州调研如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是________.解析 由条件知|PM|=|PF|.∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R|OF|.∴P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.答案 椭圆6.平面上有三个点A-2,y,B,Cx,y,若⊥,则动点C的轨迹方程是________________.解析 =--2,y=,=x,y-=,∵⊥,∴·=0,∴·=0,即y2=8x.∴动点C的轨迹方程为y2=8x.答案 y2=8x7.已知两定点A-20,B10,如果动点P满足条件|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________.解析 设Px,y,由|PA|=2|PB|,得x+22+y2=4[x-12+y2],即x-22+y2=4,∴圆的面积S=π×22=4π.答案 4π8.△ABC的顶点A-50,B50,△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是_______________________________________________.解析 如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=
610.根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,方程为-=1x3.答案 -=1x3
二、解答题9.设点P是圆x2+y2=4上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为P0,且=.1求点M的轨迹C的方程;2若直线l y=x+1与1中的轨迹C交于A,B两点,求弦长|AB|的值.解 1设点Mx,y,Px0,y0,则由题意知P0x00.由=x0-x,-y,=0,-y0,且=,得x0-x,-y=0,-y0.于是x0=x且y0=y,又x+y=4,∴x2+y2=
4.∴点M的轨迹C的方程为+=
1.2设Ax1,y1,Bx2,y2.联立得7x2+8x-8=0,∴x1+x2=-,且x1x2=-.则|AB|==|x2-x1|=·=·=.10.已知点A20,B-20,P是平面内一动点,直线PA,PB斜率之积为-.1求动点P的轨迹C的方程;2过点作直线l,与轨迹C交于E,F两点,线段EF的中点为M,求直线MA的斜率k的取值范围.解 1设P点的坐标为x,y,依题意得·=-x≠±2,化简并整理得+=1x≠±2.∴动点P的轨迹C的方程是+=1x≠±2.2依题意得,直线l过点,且斜率不为零,故可设其方程为x=my+.由,消去x得43m2+4y2+12my-45=0,设Ex1,y1,Fx2,y2,Mx0,y0,∴y1+y2=-,∴y0==-,∴x0=my0+=,∴k==,
①当m=0时,k=0,
②当m≠0时,k=,又|4m+|=4|m|+≥8,∴0|k|≤,∴-≤k≤,且k≠0,综合
①②,直线AM的斜率k的取值范围是.能力提升题组建议用时25分钟
一、填空题1.设圆x+12+y2=25的圆心为C,A10是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为____________.解析 M为AQ垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故M的轨迹为椭圆,∴a=,c=1,则b2=a2-c2=,∴椭圆的标准方程为+=
1.答案 +=12.有一动圆P恒过定点F10,且与y轴相交于点A,B,若△ABP为等边三角形,则圆心P的轨迹方程是____________.解 设圆心Px,y,半径为R,由圆的几何性质,|x|=R,又R=|PF|=,所以2|x|=·,即x+32-3y2=12,∴点P的轨迹方程为-=
1.答案 -=13.P是椭圆+=1上的任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,=+,则动点Q的轨迹方程是________.解析 由椭圆的对称性,+=2,∴=2,即=-2,设点Qx,y,则P,由点P在椭圆上,得+=
1.答案 +=1
二、解答题4.xx·四川卷已知椭圆C+=1ab0的两个焦点分别为F1-10,F210,且椭圆C经过点P.1求椭圆C的离心率;2设过点A02的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且=+,求点Q的轨迹方程.解 1由椭圆定义知2a=|PF1|+|PF2|=+=
2.所以a=.又由已知得,c=1,所以椭圆C的离心率e===.2由1知,椭圆C的方程为+y2=
1.设点Q的坐标为x,y.i当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于01,0,-1两点,此时点Q的坐标为.ii当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+
2.因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为x1,kx1+2,x2,kx2+2,则|AM|2=1+k2x,|AN|2=1+k2x.又|AQ|2=x2+y-22=1+k2x
2.由=+,得=+,即=+=.
①将y=kx+2代入+y2=1中,得2k2+1x2+8kx+6=
0.
②由Δ=8k2-4×2k2+1×6>0,得k2>.由
②可知,x1+x2=,x1x2=,代入
①中并化简,得x2=.
③因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=,代入
③中并化简,得10y-22-3x2=
18.由
③及k2>,可知0<x2<,即x∈∪.又满足10y-22-3x2=18,故x∈.由题意知点Qx,y在椭圆C内,所以-1≤y≤1,又由10y-22=18+3x2有y-22∈,且-1≤y≤1,则y∈.所以点Q的轨迹方程为10y-22-3x2=18,其中x∈,y∈.。