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2019年高考数学二轮复习三角恒等变换与解三角形专题训练(含解析)
一、选择题1.已知sin2α=-,α∈,则sinα+cosα= A.-B.C.-D.解析 ∵α∈,∴cosα0sinα且cosα|sinα|,则sinα+cosα===.答案 B2.若sin=,则cos等于 A.B.-C.D.-解析 据已知可得cos=sin2α=-cos2=-=-.答案 D3.xx·河北衡水一模已知sin+sinα=-,-α0,则cos等于 A.-B.-C.D.解析 ∵sin+sinα=-,-α0,∴sinα+cosα=-,∴sinα+cosα=-.∴cos=cosαcos-sinαsin=-cosα-sinα=.答案 C4.xx·江西卷在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=a-b2+6,C=,则△ABC的面积是 A.3B.C.D.3解析 ∵c2=a-b2+6,∴c2=a2+b2-2ab+
6.
①∵C=,∴c2=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab.
②由
①②得-ab+6=0,即ab=
6.∴S△ABC=absinC=×6×=.答案 C5.xx·江西七校联考在△ABC中,若sinA-B=1+2cosB+CsinA+C,则△ABC的形状一定是 A.等边三角形B.不含60°的等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形解析 sinA-B=1+2cosB+CsinA+C=1-2cosAsinB,∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosA·sinB,∴sinAcosB+cosAsinB=1,即sinA+B=1,则有A+B=,故三角形为直角三角形.答案 D6.xx·东北三省二模已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则B= A.B.C.D.解析 由sinA=,sinB=,sinC=,代入整理得=⇒c2-b2=ac-a2,所以a2+c2-b2=ac,即cosB=,所以B=,故答案为C.答案 C
二、填空题7.设θ为第二象限角,若tan=,则sinθ+cosθ=________.解析 tan==,解得tanθ=-,又θ为第二象限角,得sinθ=,cosθ=-,所以sinθ+cosθ=-.答案 -8.xx·天津卷在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c=a2sinB=3sinC,则cosA的值为________.解析 由正弦定理得到边b,c的关系,代入余弦定理的变式求解即可.由2sinB=3sinC及正弦定理得2b=3c,即b=c.又b-c=a,∴c=a,即a=2c.由余弦定理得cosA====-.答案 -9.xx·四川卷如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于________m.用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据sin67°≈
0.92,cos67°≈
0.39,sin37°≈
0.60,cos37°≈
0.80,≈
1.73解析 根据图中给出的数据构造适当的三角形求解.根据已知的图形可得AB=.在△ABC中,∠BCA=30°,∠BAC=37°,由正弦定理,得=,所以BC≈2××
0.60=60m.答案 60
三、解答题10.xx·广东卷已知函数fx=Asin,x∈R,且f=.1求A的值;2若fθ+f-θ=,θ∈,求f.解 1f=Asin=Asin=,∴A=·=.2由1得fx=sin,∴fθ+f-θ=sin+sin=+=2cosθsin=cosθ=∴cosθ=,又∵θ∈,∴sinθ=.∴f=sin=sinπ-θ=sinθ=×=.11.xx·辽宁卷在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac.已知·=2,cosB=,b=
3.求1a和c的值;2cosB-C的值.解 1由·=2,得c·acosB=2,又cosB=,所以ac=
6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=
13.解,得a=2,c=3或a=3,c=
2.因ac,所以a=3,c=
2.2在△ABC中,sinB===,由正弦定理,得sinC=sinB=·=.因a=bc,所以C为锐角,因此cosC===.于是cosB-C=cosBcosC+sinBsinC=·+·=.B级——能力提高组1.xx·重庆卷已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sinA-B+C=sinC-A-B+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是 A.bcb+c8B.aba+b16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24解析 由sin2A+sinA-B+C=sinC-A-B+,得sin2A+sin[A-B-C]+sin[A+B-C]=,所以sin2A+2sinAcosB-C=.所以2sinA[cosA+cosB-C]=,所以2sinA[cosπ-B+C+cosB-C]=,所以2sinA[-cosB+C+cosB-C]=,即得sinAsinBsinC=.根据三角形面积公式S=absinC,
①S=acsinB,
②S=bcsinA,
③因为1≤S≤2,所以1≤S3≤
8.将
①②③式相乘得1≤S3=a2b2c2sinAsinBsinC≤8,即64≤a2b2c2≤512,所以8≤abc≤16,故排除C,D选项,而根据三角形两边之和大于第三边,故b+ca,得bcb+c8一定成立,而a+bc,aba+b也大于8,而不一定大于16,故选A.答案 A2.xx·课标全国卷Ⅰ已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且2+bsinA-sinB=c-bsinC,则△ABC面积的最大值为________.解析 由正弦定理,可得2+ba-b=c-b·c.∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cosA==.∴sinA=.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤
4.∴S△ABC=bc·sinA≤,即S△ABCmax=.答案 3.xx·河北唐山统考在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且4sin2-cos2A=.1求角A的大小;2若BC边上高为1,求△ABC面积的最小值.解 1因为A+B+C=π,所以sin=sin=cos,所以由已知得4cos2-cos2A=,变形得21+cosA-2cos2A-1=,整理得2cosA-12=0,解得cosA=.因为A是三角形的内角,所以A=.2△ABC的面积S=bcsinA=×××=.设y=4sinBsinC,则y=4sinBsin=2sinBcosB+2sin2B=sin2B+1-cos2B=2sin+
1.因为0B,0-B,所以B,从而2B-,故当2B-=,即B=时,S的最小值为.。