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2019年高考数学二轮复习排列、组合与二项式定理1.xx·湖南高考5的展开式中x2y3的系数是 A.-20 B.-5 C.5 D.20【解析】 根据二项展开式的通项公式求解.5展开式的通项公式为Tr+1=C5-r·-2yr=C·5-r·-2r·x5-r·yr.当r=3时,C2·-23=-
20.【答案】 A2.xx·辽宁高考6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为 A.144B.120C.72D.24【解析】 3人中每两人之间恰有一个空座位,有A×2=12种坐法,3人中某两人之间有两个空座位,有A×A=12种坐法,所以共有12+12=24种坐法.【答案】 D3.xx·江西高考x2-5展开式中的常数项为 A.80 B.-80 C.40 D.-40【解析】 根据二项展开式的通项公式求解.设展开式的第r+1项为Tr+1=C·x25-r·-r=C·x10-2r·-2r·x-3r=C·-2r·x10-5r.若第r+1项为常数项,则10-5r=0,得r=2,即常数项T3=C-22=
40.【答案】 C4.xx·全国大纲高考有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有 A.60种 B.70种C.75种 D.150种【解析】 从6名男医生任选2名有C种,从5名女医生任选1名有C种,∴共有C·C=
75.【答案】 C5.xx·全国新课标高考x+a10的展开式中,x7的余数为15,则a=________.用数字填写答案【解析】 利用二项展开式的通项公式.设通项为Tr+1=Cx10-rar,令10-r=7,∴r=3,∴x7的系数为Ca3=15,∴a3=,∴a=.【答案】 从近三年高考来看,该部分高考命题的热点考向为1.利用分类加法和分步乘法计数原理计数
①分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列、组合的基础.在解题的过程中,要正确使用这两个原理,一般是先分类,后分步,分类时要明确标准,不重不漏;分步要注意各步间的连续性.
②从近两年的高考试题看,两个计数原理在高考中单独命题较少,一般与排列组合问题相结合,多为选择题、填空题.重点考查学生分析问题解决问题的能力及分类讨论思想的应用,属中档题.2.排列、组合问题
①在高考题中可单独考查,也可与古典概型结合起来考查.常与两个计数原理交汇命题,是各省市高考的热点.
②以选择、填空题的形式呈现,属中档题或较难题目.3.二项式定理
①主要考查二项展开式的指定项,二项式系数与各项的系数,常与组合数、幂的运算等交汇命题.
②均以小题形式出现,属容易题或中档题.利用分类加法和分步乘法计数原理计数【例1】 1xx·福建高考用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由1+a1+b的展开式1+a+b+ab表示出来,如“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是 A.1+a+a2+a3+a4+a51+b51+c5B.1+a51+b+b2+b3+b4+b51+c5C.1+a51+b+b2+b3+b4+b51+c5D.1+a51+b51+c+c2+c3+c4+c52xx·福建高考满足a,b∈{-1012},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对a,b的个数为 A.14 B.13 C.12 D.10【解析】 1本题可从题干最后一句入手,“1”表示所有蓝球都不取出,“b5”表示所有蓝球都取出,所以含有因式1+b5,排除B,C,D选项,故选A.2对a进行讨论,为0与不为0,当a不为0时还需考虑判别式与0的大小.若a=0,则b=-1012,此时a,b的取值有4个;若a≠0,则方程ax2+2x+b=0有实根,需Δ=4-4ab≥0,∴ab≤1,此时a,b的取值为-10,-11,-1,-1,-12,11,10,1,-1,2,-1,20,共9个.∴a,b的个数为4+9=
13.故选B.【答案】 1A 2B【规律方法】
1.“分类”与“分步”的区别关键是看事件完成情况,如果每种方法都能将事件完成则是分类;如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步.分类要用分类计数原理将种数相加;分步要用分步计数原理将种数相乘.2.对于较复杂的问题,一般要分类讨论,此时要注意分类讨论的对象和分类讨论的标准.[创新预测]1.1xx·河南新乡一模方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{-3,-20123},且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 A.60条 B.62条 C.71条 D.80条2xx·吉林一条期末如图所示,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色.若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有________种.【解析】 1利用计数原理结合分类讨论思想求解.当a=1时,若c=0,则b2有49两个取值,共2条抛物线;若c≠0,则c有4种取值,b2有两种,共有2×4=8条抛物线;当a=2时,若c=0,b2取149三种取值,共有3条抛物线;当c≠0,c取1时,b2有2个取值,共有2条抛物线,c取-2时,b2有2个取值,共有2条抛物线,c取3时,b2有3个取值,共有3条抛物线,c取-3时,b2有3个取值,共有3条抛物线.∴共有3+2+2+3+3=13条抛物线.同理,a=-2,-33时,共有抛物线3×13=39条.由分类加法计数原理知,共有抛物线39+13+8+2=62条.2按区域四步第一步,A区域有5种颜色可选;第二步,B区域有4种颜色可选;第三步,C区域有3种颜色可选;第四步,D区域也有3种颜色可选.由分步乘法计数原理,共有5×4×3×3=180种不同的涂色方法.【答案】 1B 2180【例2】 1xx·重庆高考某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是 A.72 B.120 C.144 D.1682在8张奖券中有
一、
二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种用数字作答.【解析】 1依题意,先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA=144,其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA=24,因此满足题意的排法种数为144-24=120,选B.2不同的获奖分两类,一是有一人获两张奖卷,一人获一张共有CA=36种,二是有三人各获一张奖卷,共有A=
24.因此不同的获奖情况有60种.【答案】 1B 260【规律方法】 解排列组合综合应用题的解题流程[创新预测]2.1xx·北京高考把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种.2xx·山东高考用01,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 A.243 B.252C.261 D.279【解析】 1
①若A在1号位置则B在2号位置,有A种排法;又A在5号位置与1号位置相同,有A种排法;
②若A在2号位置,则B在1号或3号,C在4号或5号,有C×C×A=8种,又A在4号与2号位置相同有8种;
③若A在3号位置,则B在2号或4号,C在1号或5号,有C×C×A=8种,所以共有2×A+3×8=12+24=36种.2有限制条件的排列问题,用间接法求解.012,…,9共能组成9×10×10=900个三位数,其中无重复数字的三位数有9×9×8=648个,∴有重复数字的三位数有900-648=252个.【答案】 136 2B【例3】 1xx·安徽高考设a≠0,n是大于1的自然数,1+n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Aii,aii=012的位置如图所示,则a=________.2xx·浙江考试院抽测若二项式n的展开式中的常数项是80,则该展开式中的二项式系数之和等于________.【解析】 1由题图知,a0=1,a1=3,a2=4,即∴∴a=
3.2对于Tr+1=Cn-rr=C2rx-,当r=n时展开式为常数项,因此n为5的倍数,不妨设n=5m,则有r=3m,则23mC=8mC=80,因此m=1,则该展开式中的二项式系数之和等于2n=25=
32.【答案】 13 232【规律方法】 解答关于二项式定理问题的“五种”方法1待定项或其系数等常规问题通项分析法.2系数和差型赋值法.3近似问题截项法.4整除或余数问题展开法.4最值问题不等式法.[创新预测]3.1xx·辽宁五校联考若n展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式的常数项是 A.360B.180C.90D.452xx·郑州第一次质量预测6的展开式的第二项的系数为-,则x2dx的值为 A.3 B.C.3或 D.3或-【解析】 1展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式总共11项,所以n=10,通项公式为Tr+1=C·10-r·r=C2rx5-r,所以r=2时,常数项为
180.2将二项展开式的第二项的系数为Ca5,由C·a5=-,解得a=-1,因此-2x2dx=x2dx==-+=.【答案】 1B 2B[总结提升]失分盲点1.1分类标准不明确,有重复或遗漏.2混淆排列问题与组合问题的差异.3对于较复杂的排列组合问题,不能分成若干个简单的基本问题后用两种计数原理来解决.2.1混淆了展开式中某项的系数与某项的二项式系数的区别.2在求展开式的各项系数之和时,忽略了赋值法的应用.3在解决整除性问题和余数问题时不能合理地构造二项式.答题指导1.1看到排列组合问题,想到排列数和组合数公式及性质,想到解决排列组合问题的主要方法.2看到较复杂的排列组合问题,想到分成若干个简单问题后用两种计数原理来解决.2.1看到展开式中求二项式系数或项的系数,想到二项展开式的通项,运用方程思想进行求值.2看到求展开式的各项系数之和,想到用赋值法来解决.方法规律1.解决排列类问题的主要方法1直接法.2特殊元素有限安排法.3捆绑法.4插空法.5分排问题直排处理法.6“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法.7定序问题除序处理法.2.求二项展开式中的项或项的系数的方法1展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数.解决这类问题时,先要合并通项式中同一字母的指数,再根据上述特征进行分析.2求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等,一般要利用通项公式,运用方程思想进行求值,通过解不等式组求取值范围.实际问题中数学模型的建立1.抽象概括能力是数学的思维能力,它是数学能力的核心能力之一,其主要特征是善于在特殊中发现一般规律、在一般中发现差异,能够在不同的问题之间建立联系,找出问题的核心和本质,摆脱次要问题的干扰把握问题的主体等.2.解决一个新的数学问题时,把问题抽象概括为已知的数学模型,利用模型的典型解法求解数学问题,是抽象概括能力的一个重要方面.【典例】 1若x2+1x-39=a0+a1x-2+a2·x-22+a3x-23+…+a11x-211,则a1+a2+…+a11的值为 A.0B.-5C.5D.2552xx·昆明调研航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验,要求2艘攻击型核潜艇一前一后,3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右,每侧3艘,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分配方案的方法数为 A.72B.324C.648D.1296【解析】 1令x=2时,a0=-5,令x=3时,a0+a1+a2+…+a11=0,∴a1+a2+a3+…+a11=-a0=
5.故选C.2核潜艇排列数为A,6艘舰艇任意排列的排列数为A,同侧均是同种舰艇的排列数为AA×2,则舰艇分配方案的方法数为AA-AA×2=
1296.故选D.【答案】 1C 2D【规律感悟】 1二项式定理中最关键的是通项,求展开式中特定的项或者特定项的系数等均是利用通项和方程思想解决的.2解决排列、组合的实际应用问题的基本思路是先对问题从大的方面分类,再对第一类的情况进行分步,然后按照排列数、组合数公式进行计算,最后根据两个基本原理整合得出结果.。