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2019年高考数学二轮复习数列求和及其综合应用1.xx·全国新课标Ⅱ高考等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn= A.nn+1 B.nn-1C.D.【解析】 因为a2,a4,a8成等比数列,所以a=a2·a8,所以a1+62=a1+2·a1+14,解得a1=
2.所以Sn=na1+d=nn+1.故选A.【答案】 A2.xx·全国新课标Ⅰ高考设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m= A.3 B.4 C.5 D.6【解析】 可以先求出首项和公差,再利用等差数列的求和公式和通项公式求解.∵{an}是等差数列,Sm-1=-2,Sm=0,∴am=Sm-Sm-1=
2.∵Sm+1=3,∴am+1=Sm+1-Sm=3,∴d=am+1-am=
1.又Sm===0,∴a1=-2,∴am=-2+m-1·1=2,∴m=
5.【答案】 C3.xx·江西高考某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数nn∈N*等于________.【解析】 每天植树的棵数构成以2为首项,2为公比的等比数列,其前n项和Sn===2n+1-
2.由2n+1-2≥100,得2n+1≥
102.由于26=6427=128,则n+1≥7,即n≥
6.【答案】 64.xx·全国大纲高考等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=10,a2为整数,且Sn≤S
4.1求{an}的通项公式;2设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.【解】 1由a1=10,a2为整数,知等差数列{an}的公差d为整数.又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0,于是10+3d≥010+4d≤
0.解得-≤d≤-.因此d=-
3.数列{an}的通项公式为an=13-3n.2bn==.于是Tn=b1+b2+…+bn===.从近三年高考来看,该部分高考命题的热点考向为1.数列求和
①该考向主要涉及数列的通项与求和.数列的通项与求和是历年高考考查的重点内容之一,试题一般设置两个问题,其中第一问考查数列的基础,确定条件数列,为第二问准备条件,属于保分题;第二问的区分度较大,一般与数列的求和有关,方法较灵活,主要是错位相减、裂项相消等方法.与不等式、函数等知识交汇是命题的重点方向,要注意这方面的训练.
②试题多以解答题的形式出现,属于中、高档题目.2.数列的综合应用1数列的综合应用主要体现如下两点
①以等差、等比数列的知识为纽带,在数列与函数、方程、不等式的交汇处命题,主要考查利用函数观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质;
②数列与解析几何交汇的命题,往往会遇到递推数列,通常以解析几何作为试题的背景,从解析几何的内容入手,导出相关的数列关系,再进一步地解答相关的问题.2试题难度大都在中等偏上,有时会以压轴题的形式出现.【例1】 xx·全国新课标Ⅰ高考已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.1求{an}的通项公式;2求数列{}的前n项和.【解】 1解方程x2-5x+6=0的两根为23,由题意得a2=2,a4=
3.设数列{an}的公差为d,则a4-a2=2d,故d=,从而a1=.所以{an}的通项公式为an=n+
1.2设{}的前n项和为Sn,由1知=,则Sn=++…++,Sn=++…++.两式相减得Sn=++…+-=+1--.所以Sn=2-.【例2】 xx·江西高考已知首项都是1的两个数列{an},{bn}bn≠0,n∈N*满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=
0.1令cn=,求数列{cn}的通项公式;2若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.【解】 1因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0n∈N*,所以-=2,即cn+1-cn=
2.所以数列{cn}是以首项c1=1,公差d=2的等差数列,故cn=2n-
1.2由bn=3n-1知an=cnbn=2n-13n-1,于是数列{an}前n项和Sn=1·30+3·31+5·32+…+2n-1·3n-1,3Sn=1·31+3·32+…+2n-3·3n-1+2n-1·3n,相减得-2Sn=1+2·31+32+…+3n-1-2n-1·3n=-2-2n-23n,所以Sn=n-13n+
1.【规律感悟】 数列求和的常见类型及方法1通项公式形如an=kn+b或an=p·qkn+b其中k,b,p,q为常数,用公式法求和.2通项公式形如an=k1n+b1qk2n+b2其中k1,b1,k2,b2,q为常数,用错位相减法.3通项公式形如an=其中a,b1,b2,c为常数用裂项相消法.4通项公式形如an=-1n·n或an=a·-1n其中a为常数,n∈N*等正负交叉项的求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.5若数列的通项公式为以上四种中的某几个构成的,则可用分组法拆项法求和.特别提醒1运用公式法求和时注意公式成立的条件.2运用错位相减法求和时,相减后,要注意右边的n+1项中的前n项,哪些项构成等比数列,以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零.[创新预测]1.xx·山东高考已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.1求数列{an}的通项公式;2令bn=-1n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.【解】 1因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,S4=4a1+×2=4a1+12,由题意得2a1+22=a14a1+12,解得a1=1,所以an=2n-
1.2bn=-1n-1=-1n-1=-1n-
1.当n为偶数时,Tn=-+…+-=1-=.当n为奇数时,Tn=-+…-+=1+=.所以Tn=或Tn=【例3】 xx·四川高考设等差数列{an}的公差为d,点an,bn在函数fx=2x的图象上n∈N*.1若a1=-2,点a84b7在函数fx的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;2若a1=1,函数fx的图象在点a2,b2处的切线在x轴上的截距为2-,求数列的前n项和Tn.【解】 1由已知,b1=2a1,b8=2a8=4b7,有2a8=4×7a7=aa7+2,解得d=a8-a7=
2.所以,Sn=na1+d=-2n+nn-1=n2-3n.2函数fx=2x在a2,b2处的切线方程为y-2a2=2a2ln2x-a2,它在x轴上的截距为a2-.由题意,a2-=2-,解得a2=
2.所以,d=a2-a1=
1.从而an=n,bn=2n,所以Tn=+++…++,2Tn=+++…+.因此,2Tn-Tn=1+++…+-=2--=.所以,Tn=.【规律感悟】
1.数列与函数交汇问题的常见类型及解法1已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.2已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形.另外,解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解.2.对于数列与几何图形相结合的问题,通常利用几何知识,结合图形,得出关于数列相邻项an与an+1之间的关系.根据这个关系和所求内容变形,得出通项公式或其他所求结论.[创新预测]2.xx·合肥第一次质量检测已知函数fx=x+x0,以点n,fn为切点作函数图象的切线lnn∈N*,直线x=n+1与函数y=fx图象及切线ln分别相交于An,Bn,记an=|AnBn|.1求切线ln的方程及数列{an}的通项;2设数列{nan}的前n项和为Sn,求证Sn
1.【解】 1对fx=x+x0求导,得f′x=1-,则切线ln的方程为y-n+=1-x-n,即y=1-x+.易知Ann+1,n+1+,Bnn+1,n+1+,由an=|AnBn|知an=|-|=.2∵nan==-,∴Sn=a1+2a2+…+nan=1-+-+…+-=1-
1.[总结提升] 通过本节课的学习,需掌握如下三点失分盲点1裂项相消求和时易忽视常数裂项过程中容易忽视常数,如容易分裂为-,漏掉前面的系数.2错位相减法求和易忽视项及符号
①作差时,最后一项符号易错;
②求和时,成等比数列的部分的项数易错;
③两边同除以1-q时,右边符号易错.答题指导正确掌握数列求和的各种方法及使用条件,在分析通项的基础上,判断求和的类型,寻找求和的方法.等差数列、等比数列的定义、公式等要应用准确.方法规律1.裂项求和的常见技巧1=-.2=3=4=2.数列中不等式的放缩技巧1=2--.32-2-.数列证明问题中的运算1.在数学证明中,证明过程往往是以计算为主的,即通过计算的结果达到证明的目的,这说明运算求解能力在数学证明中具有重要地位.典型的是函数导数试题中不等式的证明、数列问题中不等式的证明.2.数列中的证明问题有等式的证明、不等式的证明、数列性质的证明等,在数列的证明问题中计算是完成证明的关键,运算求解能力是数列证明的核心.【典例】 xx·江西高考正项数列{an}的前n项和Sn满足S-n2+n-1Sn-n2+n=
0.1求数列{an}的通项公式an;2令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,证明对于任意的n∈N*,都有Tn.【解】 1由S-n2+n-1Sn-n2+n=0,得[Sn-n2+n]Sn+1=
0.由于{an}是正项数列,所以Sn0,Sn=n2+n.于是a1=S1=2,n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-n-12-n-1=2n.综上,数列{an}的通项为an=2n.2证明由于an=2n,bn=,则bn==.Tn==×=.【规律感悟】 本题第二问裂项的依据是n+22-n2=4n+1,能快速找到这个方法,需要考生熟练掌握数学运算.在数列前n项和的不等式证明中有两个基本思路一是先求和再放缩,其前提是数列求和能够完成;二是有的数列的前n项和很难求,甚至无法求,这时需要先对通项进行放缩放缩后便于求和,再求和,再放缩,达到证明的目的.建议用时实际用时错题档案45分钟
一、选择题1.预测题已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列{}的前100项和为 A. B.C.D.【解析】 利用裂项相消法求和.设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.∵a5=5,S5=15,∴∴∴an=a1+n-1d=n.∴==-,∴数列{}的前100项和为1-+-+…+-=1-=.【答案】 A2.xx·山东日照一模已知数列{an}的前n项和Sn=n2-6n,则{|an|}的前n项和Tn= A.6n-n2B.n2-6n+18C.D.【解析】 由Sn=n2-6n得{an}是等差数列,且首项为-5,公差为
2.∴an=-5+n-1×2=2n-7,∴n≤3时,an0;n3时,an0,∴Tn=【答案】 C3.预测题已知数列{an}满足an+1=+,且a1=,则该数列的前2015项的和等于 A.B.3023C.1512D.3024【解析】 因为a1=,又an+1=+,所以a2=1,从而a3=,a4=1,即得an=故数列的前2015项的和等于S2015=1007×1++1=+1=.【答案】 A4.xx·山西大学附中4月模拟已知函数fx是定义在R上的单调增函数且为奇函数,数列{an}是等差数列,a10080,则fa1+fa2+fa3+…+fa2014+fa2015的值 A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负【解析】 ∵{an}是等差数列,∴a1+a2015=a2+a2014=…=2a10080,得a1-a2015,a2-a2014,…,又fx是定义在R上的单调增函数,且f-x=-fx,∴fa1-fa2015,即fa1+fa20150,同理,fa2+fa20140,…,∴fa1+fa2+…+fa2014+fa2015的值恒为正数,故选A.【答案】 A5.xx·郑州第一次质量预测已知数列{an}的通项公式为an=n∈N*,其前n项和为Sn,则在数列S1,S2,…,S2014中,有理数项的项数为 A.42B.43C.44D.45【解析】 an===-,∴Sn=1-+-+-+…+-=1-,要使Sn是有理项,只需是有理数n=12,…,2014,因此共有43项.【答案】 B
二、填空题6.xx·福建厦门质检已知数列{an}中,an+1=2an,a3=8,则数列{log2an}的前n项和等于________.【解析】 ∵=2,a3=8,∴a2=4,a1=2,∴数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an=2n,∴log2an=n,∴数列{log2an}的前n项和等于.【答案】 7.xx·广东广州综合测试在数列{an}中,已知a1=1,an+1=-,记Sn为数列{an}的前n项和,则S2014=________.【解析】 a1=1,a2=-=,a3=-=-2,a4=-=1,…,数列{an}是周期为3的周期数列,∴S2014=S2013+a2014=671×--2+1+1=-.【答案】 -8.xx·东北三校联考已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn.若对于任意正整数n,不等式S2n-Sn恒成立,则常数m所能取得的最大整数为________.【解析】 由题知S2n-Sn=an+1+an+2+an+3+…+a2n=++…+,令fn=++…+,n∈N*,fn+1=++…+++,又fn+1-fn=+-=0,∴函数fn单调递增,fnmin=f1=,依题意,得m.故m所能取得的最大整数是
5.【答案】 5
三、解答题9.xx·全国新课标Ⅱ高考已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+
1.1证明{an+}是等比数列,并求{an}的通项公式;2证明++…+.【证明】 1由an+1=3an+1得an+1+=
3.又a1+=,所以{an+}是首项为,公比为3的等比数列.所以an+=,因此{an}的通项公式为an=.2由1知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=.所以++…+.10.xx·湖南高考已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.1求数列{an}的通项公式;2设bn=2an+-1nan,求数列{bn}的前2n项和.【解】 1当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n.故数列{an}的通项公式为an=n.2与1知,bn=2n+-1nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n,则T2n=21+22+…+22n+-1+2-3+4-…+2n.记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,则A==22n+1-2,B=-1+2+-3+4+…+[-2n-1+2n]=n.故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-
2.。