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2019年高考数学二轮复习椭圆、双曲线、抛物线1.xx·安徽高考抛物线y=ax2的准线方程是y-2=0,则a的值是 A. B.-C.8 D.-8【解析】 将抛物线的方程化为标准形式x2=y,其准线方程是y=-=2,得a=-.故选B.【答案】 B2.xx·全国新课标Ⅰ高考已知双曲线-=1a>0的离心率为2,则a= A.2 B.C. D.1【解析】 由题意b2=3,=2,∴=4,∴=4,∴1+=4,∴a2=1,∴a=1,故选D.【答案】 D3.xx·广东高考若实数k满足0k9,则曲线-=1与曲线-=1的 A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等【解析】 由0k9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上,由=,得两双曲线的焦距相等,选A.【答案】 A4.xx·江苏高考如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆+=1ab0的左、右焦点,顶点B的坐标为0,b,连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.1若点C的坐标为,且|BF2|=,求椭圆的方程;2若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.【解】 设椭圆的焦距为2c,则F1-c0,F2c0.1因为B0,b,所以|BF2|==a.又|BF2|=,故a=.因为点C在椭圆上,所以+=
1.解得b2=
1.故所求椭圆的方程为+y2=
1.2因为B0,b,F2c0在直线AB上,所以直线AB的方程为+=
1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以·=-
1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c
2.故e2=.因此e=.从近三年高考来看,该部分高考命题的热点考向为1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
①圆锥曲线的定义、几何性质及标准方程是每年必考内容,虽然大纲降低了对双曲线的要求,但在选择题中仍然考查双曲线.可单独考查,也可与向量、数列、不等式等其他知识结合起来考查,突出考查学生的运算能力和转化思想.
②既可以以小题的形式考查属中、低档题,也可以以解答题形式考查属于中、高档题.2.直线与圆锥曲线的位置关系
①此考向是高考的重要考试方向.此类问题命题背景宽,涉及知识点多,综合性强,通常从圆锥曲线的概念入手,从不同角度考查,或探究平分面积的线、平分线段的点线,或探究使其解析式成立的参数是否存在.常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合,形成知识的交汇问题.
②多以解答题形式出现,考查学生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力,试题属于中、高档题.3.圆锥曲线的参数范围、最值问题
①该考向多以直线与圆锥曲线为背景,常与函数与方程、不等式、向量等知识交汇,形成了轨迹、范围、弦长、面积等问题的证明.
②试题多以解答题形式出现,主要考查学生分析问题、利用数学工具解决实际问题的能力以及逻辑推理能力,多为高档题.【例1】 1xx·全国大纲高考已知椭圆C+=1ab0的左、右焦点为F
1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为 A.+=1 B.+y2=1C.+=1 D.+=12xx·重庆高考设F1,F2分别为双曲线-=1a0,b0的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为 A. B. C. D.3【解析】 1由椭圆定义,4a=4,∴a=,又e==,∴c=
1.∴b2=a2-c2=2,故C的方程为+=
1.2设P在右支上,则PF1-PF2=2a,又∵PF1+PF2=2b,PF1·PF2=ab,∴|PF1|-|PF2|2=|PF1|+|PF2|2-4|PF1||PF2|,即4a2=9b2-9ab,∴a+3b4a-3b=0,又a2+b2=c2,∴a2+=c2,∴=.【答案】 1A 2B【规律方法】
1.椭圆和双曲线的定义反映了它们的图形特点,是画图的依据和基础,而定义中的定值是求标准方程的基础,在许多实际问题中正确利用定义可以使问题的解决更加灵活.已知圆锥曲线上一点及焦点,首先要考虑使用圆锥曲线的定义求解.2.求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法.而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx2+ny2=1mn≠0,这样可以避免对参数的讨论.3.求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定a、b、c的等量关系,然后把b用a、c代换,求的值.[创新预测]1.1xx·北京高考设双曲线C经过点22,且与-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为________;渐近线方程为________.2xx·湖南高考如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,bab,原点O为AD的中点,抛物线y2=2pxp0经过C,F两点,则=________.【解析】 1设C的方程为-x2=λλ≠0,把点22代入上式得λ=-3,所以C的方程为-=1,其渐近线方程为y=±2x.2由题意知C,F,将C,F点坐标代入抛物线方程y2=2px,得到a2=2p·,∴p=a,
①b2=2p,
②将
①式代入
②式得b2-2ab-a2=0,即2-2-1=0,解得=1±,∵ab,∴=1+.【答案】 1-=1,y=±2x 21+【例2】 xx·陕西高考已知椭圆+=1a>b>0经过点0,,离心率为,左右焦点分别为F1-c0,F2c0.1求椭圆的方程;2若直线l y=-x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足=,求直线l的方程.【解】 1由题设知解得a=2,b=,c=1,∴椭圆的方程为+=
1.2由题设,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,∴圆心到直线l的距离d=,由d<1得|m|<.*∴|CD|=2=2=.设Ax1,y1,Bx2,y2,由得x2-mx+m2-3=0,由求根公式可得x1+x2=m,x1x2=m2-
3.∴|AB|==.由=得=1,解得m=±,满足*.∴直线l的方程为y=-x+或y=-x-.【规律方法】
1.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤1设方程及点的坐标;2联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程;注意二次项系数是否为零3应用根与系数的关系及判别式;4结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.2.有关弦的中点问题的求解策略1通法即根与系数的关系将直线方程代入圆锥曲线的方程消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系及中点坐标公式建立等式求解.2点差法点差法是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率.点差法的步骤
①将两交点Ax1,y1,Bx2,y2的坐标代入曲线的方程.
②作差消去常数项得到关于x1+x2,x1-x2,y1+y2,y1-y2的关系式.
③应用斜率公式及中点坐标公式求解.[创新预测]2.xx·山东高考在平面直角坐标系xOy中,椭圆C+=1a>b>0的离心率为,直线y=x被椭圆C截得的线段长为.1求椭圆C的方程;2过原点的直线与椭圆C交于A,B两点A,B不是椭圆C的顶点.点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.
①设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值;
②求△OMN面积的最大值.【解】 1由题意知=,可得a2=4b
2.椭圆C的方程可简化为x2+4y2=a
2.将y=x代入可得x=±,因此×=,可得a=
2.因此b=
1.所以椭圆C的方程为+y2=
1.2
①设Ax1,y1x1y1≠0,Dx2,y2,则B-x1,-y1,因为直线AB的斜率kAB=,又AB⊥AD,所以直线AD的斜率k=-.设直线AD的方程为y=kx+m,由题意知k≠0,m≠
0.由可得1+4k2x2+8mkx+4m2-4=
0.所以x1+x2=-,因此y1+y2=kx1+x2+2m=.由题意知x1≠-x2,所以k1==-=.所以直线BD的方程为y+y1=x+x1.令y=0,得x=3x1,即M3x10.可得k2=-.所以k1=-k2,即λ=-.因此存在常数λ=-使得结论成立.
②直线BD的方程y+y1=x+x1,令x=0,得y=-y1,即N0,-y1.由
①知M3x10,可得△OMN的面积S=×3|x1|×|y1|=|x1||y1|.因为|x1||y1|≤+y=1,当且仅当=|y1|=时等号成立,此时S取得最大值,所以△OMN面积的最大值为.【例3】 xx·全国新课标Ⅰ高考已知点A0,-2,椭圆E+=1ab0的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.1求E的方程;2设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.【解】 1设Fc0,由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=
1.故E的方程为+y2=
1.2当l⊥x轴时不合题意,故设l y=kx-2,Px1,y1,Qx2,y2.将y=kx-2代入+y2=1得1+4k2x2-16kx+12=
0.当Δ=164k2-30,即k2时,x12=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=.所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t0,S△OPQ==.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ
0.所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-
2.【规律方法】 1求解圆锥曲线中的范围问题的关键是建立关于求解某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.2圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;二是求直线与圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.[创新预测]3.xx·浙江高考已知△ABP的三个顶点都在抛物线C x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=
3.1若|PF|=3,求点M的坐标;2求△ABP面积的最大值.解题思路 1根据|PF|=3,结合抛物线的定义确定点P的纵坐标,进而求解点P的坐标,结合点F的坐标以及向量关系式即可确定点M的坐标;2设出直线AB的方程,根据直线与抛物线的位置关系,结合函数与方程思想确定点M的坐标表达式,利用向量关系式确定相应点的坐标,确定三角形面积的表达式,进而转化为函数的最值问题求解.【解】 1由题意知焦点F01,准线方程为y=-
1.设Px0,y0,由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P2,2或P-2,2.由=3,分别得M-,或M,.2设直线AB的方程为y=kx+m,点Ax1,y1,Bx2,y2,Px0,y0.由得x2-4kx-4m=
0.于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为2k2k2+m.由=3,得-x01-y0=32k2k2+m-1,所以由x=4y0得k2=-m+.由Δ>0,k2≥0,得-<m≤.又因为|AB|=4,点F01到直线AB的距离为d=.所以S△ABP=4S△ABF=8|m-1|=.记fm=3m3-5m2+m+1-<m≤.令f′m=9m2-10m+1=0,解得m1=,m2=
1.可得fm在-,上是增函数,在,1上是减函数,在1,上是增函数.又f=>f.所以,当m=时,fm取到最大值,此时k=±.所以,△ABP面积的最大值为.[总结提升]失分盲点1.1遗忘定义很多圆锥曲线试题中使用定义可以很方便求解.2忽视焦点位置解题中习惯地认为圆锥曲线的焦点在x轴上.3错用椭圆、双曲线的a,b,c的关系椭圆c2=a2-b2,双曲线c2=a2+b
2.2.1忽视二次项系数直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线、抛物线可能相切,也可能相交.2忽视斜率不存在在求解与直线方程有关问题时,易漏掉直线与x轴垂直,即斜率不存在的情况.3忽略剔除点求轨迹方程时,易忽略剔除不在轨迹上的点的坐标.答题指导1.1看到曲线上的点到两定点距离之和之差的绝对值.想到椭圆双曲线的定义.2看到抛物线上的点到焦点的距离,想到该点到准线的距离,反之亦然.2.解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,经常是直线方程与圆锥曲线方程联立、消元得出一元方程,再进行求解,但要注意曲线方程为双曲线方程时,该一元方程可能为二次,也可能为一次,应分类讨论解决.方法规律1求圆锥曲线方程的方法
①待定系数法
②定义法.2离心率的求解方法建立关于离心率或含有a,c的齐次式的方程或者不等式求解.3数形结合法解题时画出图形、以形助数寻找解题思路、简化运算过程.4直线与曲线相交的解决方法解方程组得交点坐标法、根与系数的关系整体处理法.5弦中点问题的处理方法根与系数的关系法、点差法.6求曲线方程的方法直接法、定义法、待定系数法、代入法、参数法、交轨法等.直线方程的选取对运算的影响1.直线方程有四种特殊的形式点斜式、斜截式、两点式、截距式,在解决直线与圆锥曲线综合的问题时选取直线方程的形式对运算过程简繁程度的影响较大.在解决解析几何试题时,根据问题的实际情况选取合适的方程形式是运算合理性、简捷性的重要体现.2.在含有斜率的直线方程中,直线的斜率必须存在,即这类直线方程不能表示与x轴垂直的直线,解题中需进行分类讨论.3.如果直线在y轴上的截距为b,方程y=kx+b表示过点0,b的除y轴之外的所有直线;当直线在x轴上的截距为a时,方程x=my+a表示过点a0的除x轴之外的所有直线.合理选择直线方程的这两种形式对运算的简捷性有很大影响.【典例】 xx·广东高考已知椭圆C+=1ab0的一个焦点为,0,离心率为.1求椭圆C的标准方程;2若动点Px0,y0为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.【解】 1可知c=,又=,∴a=3,b2=a2-c2=4,椭圆C的标准方程为+=1;2设两切线为l1,l2,
①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,对应l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P±3,±2;
②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,则k≠0,l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=kx-x0,联立+=1,得9k2+4x2+18y0-kx0kx+9y0-kx02-36=0,因为直线与椭圆相切,所以Δ=0,得9y0-kx02k2-9k2+4[y0-kx02-4]=0,∴-36k2+4[y0-kx02-4]=0,∴x-9k2-2x0y0k+y-4=0,所以k是方程x-9x2-2x0y0x+y-4=0的一个根,同理-是方程x-9x2-2x0y0x+y-4=0的另一个根,∴k·=,得x+y=13,其中x0≠±3,所以点P的轨迹方程为x2+y2=13x≠±3,因为P±3,±2满足上式,综上知点P的轨迹方程为x2+y2=
13.。