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2019年高考数学二轮复习椭圆、双曲线、抛物线专题训练(含解析)
一、选择题1.以双曲线-y2=1的左焦点为焦点,顶点在原点的抛物线方程是 A.y2=4xB.y2=-4xC.y2=-4xD.y2=-8x解析 由题意知抛物线的焦点为-20.又顶点在原点,所以抛物线方程为y2=-8x.答案 D2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F30,离心率等于,则C的方程是 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析 双曲线中c=3,e=,故a=2,b==,故双曲线方程为-=
1.答案 B3.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是 A.B.1,+∞C.12D.解析 ∴1k
2.答案 C
4.xx·浙江考试院抽测如图,F1,F2是双曲线C1x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一象限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率是 A.B.C.D.解析 由题知|AF1|+|AF2|=2a设a为椭圆的长半轴,|AF1|-|AF2|=2,而|F1F2|=|F1A|=4,因此可得2×|F1A|=2a+2,∴8=2a+2,∴a=3,又c=2,故C2的离心率e=.答案 B5.xx·山东卷已知ab0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为 A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0解析 由题意知e1=,e2=,∴e1·e2=·==.又∵a2=b2+c,c=a2+b2,∴c=a2-b2,∴==1-4,即1-4=,解得=±,∴=.令-=0,解得bx±ay=0,∴x±y=
0.答案 A6.xx·重庆卷设F1,F2分别为双曲线-=1a0,b0的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为 A.B.C.D.3解析 联立已知条件和双曲线的定义,建立关于a,b,c的方程,求离心率.不妨设P为双曲线右支上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r
2.根据双曲线的定义,得r1-r2=2a,又r1+r2=3b,故r1=,r2=.又r1·r2=ab,所以·=ab,解得=负值舍去.故e=====,故选B.答案 B
二、填空题7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C+=1的左、右焦点分别是F
1、F2,P为椭圆C上的一点,且PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为________.解析 ∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由椭圆方程知a=5,b=3,∴c=
4.∴解得|PF1||PF2|=18,∴△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=×18=
9.答案 98.xx·福建卷椭圆Γ+=1ab0的左,右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=x+c与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.解析 由直线方程为y=x+c,知∠MF1F2=60°,又∠MF1F2=2∠MF2F1,所以∠MF2F1=30°,MF1⊥MF2,所以|MF1|=c,|MF2|=c,所以|MF1|+|MF2|=c+c=2a.即e==-
1.答案 -19.抛物线C1y=x2p0的焦点与双曲线C2-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=________.解析 经过第一象限的双曲线的渐近线为y=x.抛物线的焦点为F,双曲线的右焦点为F220.y′=x,由题意知在M处的切线斜率为,即x0=,所以x0=p,点F,F220,M共线,所以=,即p=.答案
三、解答题10.xx·课标全国卷Ⅱ设F1,F2分别是椭圆C+=1ab0的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.1若直线MN的斜率为,求C的离心率;2若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解 1根据c=及题设知M,=,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=,=-2舍去.故C的离心率为.2由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D02是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.
①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设Nx1,y1,由题意知y10,则即代入C的方程,得+=
1.
②将
①及c=代入
②得+=
1.解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=
2.11.xx·天津卷设椭圆+=1ab0的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.1求椭圆的离心率;2设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=
2.求椭圆的方程.解 1设椭圆右焦点F2的坐标为c0.由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c
2.又b2=a2-c2,则=.所以,椭圆的离心率e=.2由1知a2=2c2,b2=c
2.故椭圆方程为+=
1.设Px0,y0.由F1-c0,B0,c,有=x0+c,y0,=c,c.由已知,有·=0,即x0+cc+y0c=
0.又c≠0,故有x0+y0+c=
0.
①因为点P在椭圆上,故+=
1.
②由
①和
②可得3x+4cx0=
0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入
①得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为Tx1,y1,则x1==-c,y1==c,所以圆的半径r==c.由已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2,又|MF2|=2,故有2+2=8+c2,解得c2=
3.所以,所求椭圆的方程为+=
1.B级——能力提高组1.xx·四川卷已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2其中O为坐标原点,则△ABO与△AFO面积之和的最小值是 A.2B.3C.D.解析 设出直线AB的方程,用分割法表示出△ABO的面积,将S△ABO+S△AFO表示为某一变量的函数,选择适当方法求其最值.设直线AB的方程为x=ny+m如图,Ax1,y1,Bx2,y2,∵·=2,∴x1x2+y1y2=
2.又y=x1,y=x2,∴y1y2=-
2.联立得y2-ny-m=0,∴y1y2=-m=-2,∴m=2,即点M20.又S△ABO=S△AMO+S△BMO=|OM||y1|+|OM||y2|=y1-y2,S△AFO=|OF|·|y1|=y1,∴S△ABO+S△AFO=y1-y2+y1=y1+≥2=3,当且仅当y1=时,等号成立.答案 B2.设点P是双曲线-=1a0,b0与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,其中F
1、F2分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的离心率为________.解析 由已知可得,△PF1F2为直角三角形,且|PF1|2+|PF2|2=4c2,又|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|-|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=|PF1|2+|PF2|2,即2|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2,把|PF1|=2|PF2|代入得,|PF2|=b,|PF1|=2b,代入|PF1|2+|PF2|2=4c2得5b2=5c2-5a2=4c2,∴c2=5a2,e==.答案 3.已知动点C是椭圆Ω+y2=1a1上的任意一点,AB是圆G x2+y-22=的一条直径A,B是端点,·的最大值是.1求椭圆Ω的方程;2已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点Mm0,使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.解 1设点C的坐标为x,y,则+y2=1,连接CG,由=+,=+=-,又G02,可得·=2-2=x2+y-22-=a1-y2+y-22-=-a-1y2-4y+a+,其中y∈[-11].因为a1,故当y=≤-1,即1a≤3时,取y=-1,得·有最大值-a-1+4+a+=,与条件矛盾;当y=-1,即a3时,·的最大值是,由条件得=,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2舍去.综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=
1.2设点Px1,y1,Qx2,y2,PQ的中点坐标为x0,y0,则满足+y=1,+y=1,两式相减,整理得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-x-x0,又右焦点F2的坐标是20,将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-2-x0,因为直线l与x轴不垂直,故2x0-x=5y0,从而0x
02.假设在线段OF2上存在点Mm00m2,使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=x-x0,将点Mm0代入得-y0=m-x0,得m=x0,从而m∈.。