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2019年高考数学二轮复习空间几何体的三视图、表面积与体积专题训练(含解析)
一、选择题1.xx·武汉调研一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 解析 A、B、C与俯视图不符.答案 D2.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧左视图为 解析 抓住其一条对角线被遮住应为虚线,可知正确答案在C,D中,又结合直观图知,D正确.答案 D3.xx·安徽卷一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为 A.21+B.18+C.21D.18解析 由三视图知,该多面体是由正方体割去两个角所成的图形,如图所示,则S=S正方体-2S三棱锥侧+2S三棱锥底=24-2×3××1×1+2××2=21+.答案 A4.已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA⊥平面ABCD,AB⊥BC,SA=AB=1,BC=,则球O的表面积等于 A.4π B.3πC.2π D.π解析 如图所示,由AB⊥BC知,AC为过A,B,C,D四点小圆直径,所以AD⊥DC.又SA⊥平面ABCD,设SB1C1D1-ABCD为SA,AB,BC为棱长构造的长方体,得体对角线长为=2R,所以R=1,球O的表面积S=4πR2=4π.故选A.答案 A5.xx·湖南卷一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于 A.1B.2C.3D.4解析 由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱A1B1C1-ABC,且AB=8,BC=6,BB1=
12.若要得到半径最大的球,则此球与平面A1B1BA,BCC1B1,ACC1A1相切,故此时球的半径与△ABC内切圆的半径相等,故半径r==
2.故选B.答案 B6.点A,B,C,D均在同一球面上,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为 A.32πB.48πC.64πD.16π解析 如图所示,O1为三角形ABC的外心,过O做OE⊥AD,∴OO1⊥面ABC,∴AO1=AB=.∵OD=OA,∴E为DA的中点.∵AD⊥面ABC,∴AD∥OO1,∴EO=AO1=.∴DO==
2.∴R=DO=
2.∴V=π23=32π.答案 A
二、填空题7.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积是________.解析 由三视图可知,四棱锥的高为2,底面为直角梯形ABCD.其中DC=2,AB=3,BC=,所以四棱锥的体积为××2=.答案 8.如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1V2=________.解析 设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h,底面三角形ABC的面积为S,则V1=×S·h=Sh=V2,即V1V2=1
24.答案 1249.在四面体ABCD中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,则四面体ABCD的外接球的表面积为________.解析 构造一个长方体,使得它的三条面对角线分别为
4、
5、6,设长方体的三条边分别为x,y,z,则x2+y2+z2=,而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以S=4πR2=π.答案 π
三、解答题10.下列三个图中,左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图.右边两个是其正主视图和侧左视图.1请在正主视图的下方,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图不要求叙述作图过程.2求该多面体的体积尺寸如图.解 1作出俯视图如图所示.2依题意,该多面体是由一个正方体ABCD-A1B1C1D1截去一个三棱锥E-A1B1D1得到的,所以截去的三棱锥体积VE-A1B1D1=·S△A1B1D1·A1E=××1=,正方体体积V正方体AC1=23=8,所以所求多面体的体积V=8-=.
11.xx·安徽卷如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD.四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且AD=2BC.过A1,C,D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q.1证明Q为BB1的中点;2求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比.解 1证明因为BQ∥AA1,BC∥AD,BC∩BQ=B,AD∩AA1=A,所以平面QBC∥平面A1AD.从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行,即QC∥A1D.故△QBC与△A1AD的对应边相互平行,于是△QBC∽△A1AD.所以===,即Q为BB1的中点.2如图,连接QA,QD.设AA1=h,梯形ABCD的高为d,四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下,BC=a,则AD=2a.VQ-A1AD=··2a·h·d=ahd,VQ-ABCD=··d·=ahd,所以V下=VQ-A1AD+VQ-ABCD=ahd,又V四棱柱A1B1C1D1-ABCD=ahd,所以V上=V四棱柱A1B1C1D1-ABCD-V下=ahd-ahd=ahd.故=.B级——能力提高组1.xx·北京卷在空间直角坐标系Oxyz中,已知A200,B220,C020,D11,.若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则 A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1解析 作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影,计算三角形的面积.如图所示,△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影,所以S1=×2×2=
2.三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DEFE,F分别为OA,BC的中点全等,所以S2=×2×=.三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGHG,H分别为AB,OC的中点全等,所以S3=×2×=.所以S2=S3且S1≠S
3.故选D.答案 D2.xx·山东卷三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则=________.解析 由于VP-ABE=VC-ABE,所以VP-ABE=VP-ABC,又因VD-ABE=VP-ABE,所以VD-ABE=VP-ABC,∴=.答案
3.理xx·课标全国卷Ⅱ如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.1证明PB∥平面AEC;2设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.解 1连接BD交AC于点O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.2因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz.则D0,,0,E,=.设Bm00m0,则Cm,,0,=m,,0,设n1=x,y,z为平面ACE的法向量,则即可取n1=.又n2=100为平面DAE的法向量,由题设|cos〈n1,n2〉|=,即=,解得m=.因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为.三棱锥E-ACD的体积V=××××=.3.文如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上.过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置点A与P重合,使得∠PEB=30°.1求证EF⊥PB;2试问当点E在何处时,四棱锥P-EFCB的侧面PEB的面积最大?并求此时四棱锥P-EFCB的体积.解 1证明∵AB=BC,∴BC⊥AB,又∵EF∥BC,∴EF⊥AB,即EF⊥BE,EF⊥PE.又BE∩PE=E,∴EF⊥平面PBE,∴EF⊥PB.2设BE=x,PE=y,则x+y=
4.∴S△PEB=BE·PE·sin∠PEB=xy≤2=
1.当且仅当x=y=2时,S△PEB的面积最大.此时,BE=PE=
2.由1知EF⊥平面PBE,∴平面PBE⊥平面EFCB,在平面PBE中,作PO⊥BE于O,则PO⊥平面EFCB.即PO为四棱锥P-EFCB的高.又PO=PE·sin30°=2×=
1.S梯形EFCB=2+4×2=
6.∴VP-BCFE=×6×1=
2.。