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2019年高考数学二轮复习立体几何中的探索性问题的解题策略[策略诠释]1.主要类型1对平行或垂直关系的探索.2对条件或结论不完备的开放性问题的探索.2.解题思路首先假设其存在,然后在这个假设下推理论证,如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设,若推出了矛盾就否定假设.3.注意事项1解决此类问题的关键是通过条件与所求把要探索的问题确定下来.2在转化过程中要有理有据,不能凭空猜测.【典例1】 xx·四川高考在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.1若AC⊥BC,证明直线BC⊥平面ACC1A1;2设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.[审题]1切入点先利用线面垂直的判定定理证明AA1⊥平面ABC,再证明直线BC⊥平面ACC1A
1.关注点注意条件AC⊥BC的应用.2切入点由于D,E分别是线段BC,CC1的中点,易猜想M应为线段AB的中点.关注点只要在平面A1MC内找到一条与DE平行的直线即可.[解题]【解】 1因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC.2分因为AB,AC为平面ABC内两条相交的直线,所以AA1⊥平面ABC.4分因为直线BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC.又由已知,AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交的直线,所以BC⊥平面ACC1A
1.6分2取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.由已知,O为AC1的中点.8分连接MD,OE,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,所以,MD綊AC,OE綊AC,因此MD綊OE.9分连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC,MO⊂平面A1MC,所以直线DE∥平面A1MC.11分即线段AB上存在一点M线段AB的中点,使直线DE∥平面A1MC.12分[变题]1.xx·北京东城模拟在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,P为DN的中点.1求证BD⊥MC.2线段AB上是否存在点E,使得AP∥平面NEC,若存在,说明在什么位置,并加以证明;若不存在,说明理由.【解】 1连接AC,因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,所以AM⊥平面ABCD.因为BD⊂平面ABCD,所以AM⊥BD.因为AC∩AM=A,所以BD⊥平面MAC.又MC⊂平面MAC,所以BD⊥MC.2当E为AB的中点时,有AP∥平面NEC.取NC的中点S,连接PS,SE.因为PS∥DC∥AE,PS=AE=DC,所以四边形APSE是平行四边形,所以AP∥SE.又SE⊂平面NEC,AP⊄平面NEC,所以AP∥平面NEC.【典例2】 12分xx·北京丰台模拟如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=
6.D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.1求证A1C⊥平面BCDE;2若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;3线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.[审题]1切入点先从折叠前后关系入手证明DE⊥AC.关注点折叠前后线面间的位置关系.2切入点先由条件建立空间直角坐标系,求面平面A1BE的法向量.关注点线面角与方向向量和法向量所求角的关系.3切入点首先假设存在点P.关注点由平面A1DP与平面A1BE垂直知其法向量垂直.【解】 1证明∵AC⊥BC,DE∥BC,∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D,DE⊥CD,∴DE⊥平面A1DC.∴DE⊥A1C.又∵A1C⊥CD,且DE∩CD=D,∴A1C⊥平面BCDE.2如图所示,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系Cxyz,则A1002,D020,M01,,B300,E2,20.设平面A1BE的法向量为n=x,y,z,则n·=0,n·=
0.又=30,-2,=-120,∴令y=1,则x=2,z=,∴n=21,.6分设CM与平面A1BE所成的角为θ.∵=01,,∴sinθ=|cos〈n,〉|=||==.∴CM与平面A1BE所成角的大小为.8分3线段BC上不存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直.理由如下假设这样的点P存在,使其坐标为p00,其中p∈
[03].设平面A1DP的法向量为m=x′,y′,z′,则m·=0,m·=
0.又=02,-2,=p,-20,∴令x′=2,则y′=p,z′=,∴m=2,p,.10分平面A1DP⊥平面A1BE,当且仅当m·n=0,即4+p+p=
0.解得p=-2,与p∈
[03]矛盾.∴线段BC上不存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直.12分【变题】2.xx·贵州贵阳质检如图,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=
2.1若点E为AB的中点,求证BD1∥平面A1DE;2在线段AB上是否存在点E,使二面角D1-EC-D的大小为?若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由.【解】 1四边形ADD1A1为正方形,连接AD1,A1D∩AD1=F,则F是AD1的中点,又因为点E为AB的中点,连接EF,则EF为△ABD1的中位线,所以EF∥BD
1.又因为BD1⊄平面A1DE,EF⊂平面A1DE,所以BD1∥平面A1DE.2根据题意得DD1⊥平面ABCD,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则D000,A1101,D10,01,C020.设满足条件的点E存在,令E1,y000≤y0≤2,=-12-y00,=02,-1,设n1=x1,y1,z1是平面D1EC的法向量,则得令y1=1,则平面D1EC的法向量为n1=2-y012,由题知平面DEC的一个法向量n2=001.由二面角D1-EC-D的大小为得cos===,解得y0=2-∈
[02],所以当AE=2-时,二面角D1-EC-D的大小为.。