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2019年高考数学二轮复习解决数列中最值问题的解题策略[策略诠释]1.主要类型1数列中的恒成立问题的求解.2数列中最大项与最小项问题的求解.3数列中前n项和的最值问题.4证明不等式时构建函数求最值值域.2.解题思路结合条件与待求问题,把所求问题转化为关于n的函数或方程问题求解.3.注意事项1数列是定义在N*或其子集上的特殊函数,因此树立函数意识是解决数列问题的最基本要求.2求解过程中要注意项数n的取值范围,防止出错.【典例】 12分xx·天津模拟已知函数fx=logmxm为常数,0m1,且数列{fan}是首项为2,公差为2的等差数列.1若bn=an·fan,当m=时,求数列{bn}的前n项和Sn.2设cn=an·lgan,如果{cn}中的每一项恒小于它后面的项,求m的取值范围.[审题分析信息,形成思路]1切入点求fan,进而求出an;关注点求Sn时应注意求和方法的选择.2切入点根据an求cn,把恒成立问题转化为求函数的最值问题;关注点根据函数的单调性求最值.[解题规范步骤,水到渠成]【解】 1由题意fan=2+n-1×2=2n,即logman=2n,所以an=m2n.bn=an·fan=2n·m2n,当m=时,bn=an·fan=n·n-
1.2分所以Sn=1·0+2·1+3·2+…+n·n-1,iSn=1·1+2·2+3·3+…+n·n.iii-ii,得Sn=1·0+1+2+…+n-1-n·n=-n·n,4分所以Sn=-n+2n-1+
4.6分2由1知,cn=an·lgan=2n·m2nlgm,要使cncn+1对一切n∈Z*成立
②,即nlgmn+1m2lgm对一切n∈N*成立.0m1,所以lgm0,所以nn+1m2,对一切n∈N*恒成立,只需m2min,8分=1-单调递增,所以当n=1时,min=.10分所以m2,且0m1,所以0m.所以m的范围为.12分[变题]xx·山东济宁二模已知数列{bn}满足Sn+bn=,其中Sn为数列{bn}的前n项和.1求证数列{bn-}是等比数列,并求数列{bn}的通项公式;2如果对任意n∈N*,不等式≥2n-7恒成立,求实数k的取值范围.【解】 1对于任意n∈N*,Sn+bn=
①Sn+1+bn+1=
②②-
①得bn+1=bn+,所以bn+1-=bn-.又由
①式知,S1+b1=,即b1=.所以数列{bn-}是首项为b1-=3,公比为的等比数列,bn-=3×n-1,bn=3×n-1+.2因为bn=3×n-1+,所以Sn=31+++…++=+=61-+.因为不等式≥2n-7,化简得k≥,对任意n∈N*恒成立,设cn=,则cn+1-cn=-=,当n≥5时,cn+1≤cn,cn为单调递减数列,当1≤n5时,cn+1cn,cn为单调递增数列,=c4c5=,所以,n=5时,cn取得最大值,所以,要使k≥对任意n∈N*恒成立,k≥.∴实数k的取值范围是[,+∞.。