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2019年高考数学大一轮复习第九章第4讲椭圆训练理
一、选择题1.中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是 .A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析 依题意知2a=18,∴a=92c=×2a,∴c=3,∴b2=a2-c2=81-9=72,∴椭圆方程为+=
1.答案 A2.椭圆+=1ab0的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F
2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 .A.B.C.D.-2解析 因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c.又因为|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,所以a-ca+c=4c2,即a2=5c
2.所以离心率e==,故选B.答案 B3.已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈,则实数m的取值范围是 .A.B.C.∪D.∪eq\b\lc\\rc\eq\a\vs4\al\co11,解析 椭圆标准方程为x2+eq\fy2=
1.当m1时,e2=1-∈eq\b\lc\\rc\eq\a\vs4\al\co1,1,解得m;当0m1时,e2=eq\f-1=1-m∈eq\b\lc\\rc\eq\a\vs4\al\co1,1,解得0m,故实数m的取值范围是eq\b\lc\\rc\eq\a\vs4\al\co10,∪eq\b\lc\\rc\eq\a\vs4\al\co1,+∞.答案 C4.设F
1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,P是第一象限内该椭圆上的一点,且PF1⊥PF2,则点P的横坐标为 .A.1B.C.2D.解析 由题意知,点P即为圆x2+y2=3与椭圆+y2=1在第一象限的交点,解方程组得点P的横坐标为.答案 D5.椭圆+=1ab0的两顶点为Aa0,B0,b,且左焦点为F,△FAB是以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e为 A.B.C.D.解析根据已知a2+b2+a2=a+c2,即c2+ac-a2=0,即e2+e-1=0,解得e=,故所求的椭圆的离心率为.答案 B6.已知椭圆C+=1a>b>0的离心率为eq\f
2.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为 .A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析 因为椭圆的离心率为eq\f2,所以e==eq\f2,c2=a2,c2=a2=a2-b2,所以b2=a2,即a2=4b
2.双曲线的渐近线方程为y=±x,代入椭圆方程得+=1,即+==1,所以x2=b2,x=±eq\f2b,y2=b2,y=±eq\f2b,则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为eq\b\lc\\rc\eq\a\vs4\al\co1eq\f2b,eq\f2b,所以四边形的面积为4×eq\f2b×eq\f2b=b2=16,所以b2=5,所以椭圆方程为+=
1.答案 D
二、填空题7.设F
1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的距离为________.解析由题意知|OM|=|PF2|=3,∴|PF2|=
6.∴|PF1|=2×5-6=
4.答案48.在等差数列{an}中,a2+a3=11,a2+a3+a4=21,则椭圆C+=1的离心率为________.解析 由题意,得a4=10,设公差为d,则a3+a2=10-d+10-2d=20-3d=11,∴d=3,∴a5=a4+d=13,a6=a4+2d=16a5,∴e=eq\f4=eq\f
4.答案 eq\f
49.椭圆=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的_____倍.解析不妨设F1(-3,0),F2(3,0)由条件得P(3,±),即|PF2|=,|PF1|=,因此|PF1|=7|PF2|.答案
710.如图,∠OFB=,△ABF的面积为2-,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为一个焦点的椭圆方程为________.解析 设标准方程为+=1ab0,由题可知,|OF|=c,|OB|=b,∴|BF|=a,∵∠OFB=,∴=eq\f3,a=2b.S△ABF=·|AF|·|BO|=a-c·b=2b-bb=2-,∴b2=2,∴b=,∴a=2,∴椭圆的方程为+=
1.答案 +=1
三、解答题11.如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.1当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;2求过点30且斜率为的直线被C所截线段的长度.解 1设M的坐标为x,y,P的坐标为xP,yP,由已知得∵P在圆上,∴x2+2=25,即C的方程为+=
1.2过点30且斜率为的直线方程为y=x-3,设直线与C的交点为Ax1,y1,Bx2,y2,将直线方程y=x-3代入C的方程,得+=1,即x2-3x-8=
0.∴x1=,x2=.∴线段AB的长度为|AB|====.12.设F1,F2分别为椭圆C+=1ab0的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为
2.1求椭圆C的焦距;2如果=2,求椭圆C的方程.解 1设椭圆C的焦距为2c,由已知可得F1到直线l的距离c=2,故c=
2.所以椭圆C的焦距为
4.2设Ax1,y1,Bx2,y2,由=2及l的倾斜角为60°,知y10,y20,直线l的方程为y=x-2.由eq\b\lc\{\rc\eq\a\vs4\al\co1y=x-2,+=1消去x,整理得3a2+b2y2+4b2y-3b4=
0.解得y1=eq\f-b22+2a3a2+b2,y2=eq\f-b22-2a3a2+b
2.因为=2,所以-y1=2y2,即eq\fb22+2a3a2+b2=2·eq\f-b22-2a3a2+b2,解得a=
3.而a2-b2=4,所以b2=
5.故椭圆C的方程为+=
1.13.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C+=1ab0的离心率为eq\f2,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.1求椭圆C的方程;2已知点P01,Q02.设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T.求证点T在椭圆C上.1解 由题意知,b=eq\f2=.因为离心率e==eq\f2,所以=eq\r1-eq\b\lc\\rc\eq\a\vs4\al\co12=.所以a=
2.所以椭圆C的方程为+=
1.2证明 由题意可设M,N的坐标分别为x0,y0,-x0,y0,则直线PM的方程为y=x+1,
①直线QN的方程为y=x+
2.
②法一 联立
①②解得x=,y=,即Teq\b\lc\\rc\eq\a\vs4\al\co1,.由eq\fx8+eq\fy2=1,可得x=8-4y.因为eq\b\lc\\rc\eq\a\vs4\al\co12+eq\b\lc\\rc\eq\a\vs4\al\co12=eq\fx+43y0-4282y0-32=eq\f8-4y+43y0-4282y0-32=eq\f32y-96y0+7282y0-32==1,所以点T的坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.法二 设Tx,y,联立
①②解得x0=,y0=.因为eq\fx8+eq\fy2=1,所以eq\b\lc\\rc\eq\a\vs4\al\co12+eq\b\lc\\rc\eq\a\vs4\al\co12=
1.整理得+=2y-32,所以+-12y+8=4y2-12y+9,即+=
1.所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.14.如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.1求该椭圆的离心率和标准方程;2过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程.解 1如图,设所求椭圆的标准方程为+=1a>b>0,右焦点为F2c0.因△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,得b=.结合c2=a2-b2得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e==.在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故S△AB1B2=·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b
2.由题设条件S△AB1B2=4得b2=4,从而a2=5b2=
20.因此所求椭圆的标准方程为+=
1.2由1知B1-20,B220.由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-
2.代入椭圆方程得m2+5y2-4my-16=
0.设Px1,y1,Qx2,y2,则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1·y2=-,又=x1-2,y1,=x2-2,y2,所以·=x1-2x2-2+y1y2=my1-4my2-4+y1y2=m2+1y1y2-4my1+y2+16=--+16=-,由PB2⊥QB2,得·=0,即16m2-64=0,解得m=±
2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=
0.。