还剩6页未读,继续阅读
文本内容:
2019年高考数学大一轮复习第九章第7讲直线与圆锥曲线的位置关系训练理
一、选择题1.直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于 .A.B.2C.D.4解析 直线4kx-4y-k=0,即y=k,即直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点.设Ax1,y1,Bx2,y2,则|AB|=x1+x2+=4,故x1+x2=,则弦AB的中点的横坐标是,弦AB的中点到直线x+=0的距离是+=.答案 C2.设斜率为的直线l与椭圆+=1ab0交于不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为 .A.B.C.D.解析 由于直线与椭圆的两交点A,B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1,F2,故|AF1|=|BF2|=,设直线与x轴交于C点,又直线倾斜角θ的正切值为,结合图形易得tanθ===,故|CF1|+|CF2|==|F1F2|=2c,整理并化简得b2=a2-c2=ac,即1-e2=e,解得e=.答案 C3.抛物线y2=2px与直线2x+y+a=0交于A,B两点,其中点A的坐标为12,设抛物线的焦点为F,则|FA|+|FB|的值等于 .A.7B.3C.6D.5解析 点A12在抛物线y2=2px和直线2x+y+a=0上,则p=2,a=-4,F10,则B4,-4,故|FA|+|FB|=
7.答案 A4.设双曲线-=1a0,b0的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2= .A.1+2B.4-2C.5-2D.3+2解析 如图,设|AF1|=m,则|BF1|=m,|AF2|=m-2a,|BF2|=m-2a,∴|AB|=|AF2|+|BF2|=m-2a+m-2a=m,得m=2a,又由|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,可得m2+m-2a2=4c2,即得20-8a2=4c2,∴e2==5-2,故应选C.答案 C5.已知直线l y=kx-2k0与抛物线C y2=8x交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|AF|=2|BF|,则k的值是 .A.B.C.2D.解析 法一 据题意画图,作AA1⊥l′,BB1⊥l′,BD⊥AA
1.设直线l的倾斜角为θ,|AF|=2|BF|=2r,则|AA1|=2|BB1|=2|AD|=2r,所以有|AB|=3r,|AD|=r,则|BD|=2r,k=tanθ=tan∠BAD==
2.法二 直线y=kx-2恰好经过抛物线y2=8x的焦点F20,由可得ky2-8y-16k=0,因为|FA|=2|FB|,所以yA=-2yB.则yA+yB=-2yB+yB=,所以yB=-,yA·yB=-16,所以-2y=-16,即yB=±
2.又k0,故k=
2.答案 C6.过双曲线-=1a0的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围是 .A.,5B., C.1,D.55解析 令b=,c=,则双曲线的离心率为e=,双曲线的渐近线的斜率为±.据题意,23,如图所示.∵=,∴23,∴5e210,∴e.答案 B
二、填空题7.椭圆+y2=1的弦被点平分,则这条弦所在的直线方程是________.解析 设弦的两个端点为Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=1,y1+y2=
1.∵A,B在椭圆上,∴+y=1,+y=
1.两式相减得+y1+y2y1-y2=0,即=-,∵x1+x2=1,y1+y2=1,∴=-,即直线AB的斜率为-.∴直线AB的方程为y-=-,即该弦所在直线的方程为2x+4y-3=
0.答案 2x+4y-3=08.已知椭圆C+=1ab0,F,0为其右焦点,过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为________.解析 由题意,得解得∴椭圆C的方程为+=
1.答案 +=19.过椭圆+=1a>b>0的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M,与y轴的交点为B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为________.解析 由题意知A点的坐标为-a0,l的方程为y=x+a,∴B点的坐标为0,a,故M点的坐标为,代入椭圆方程得a2=3b2,∴c2=2b2,∴e=.答案 10.已知曲线-=1a·b≠0,且a≠b与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且·=0O为原点,则-的值为________.解析 将y=1-x代入-=1,得b-ax2+2ax-a+ab=
0.设Px1,y1,Qx2,y2,则x1+x2=,x1x2=.·=x1x2+y1y2=x1x2+1-x1·1-x2=2x1x2-x1+x2+
1.所以-+1=0,即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a=2ab,所以-=
2.答案 2
三、解答题11.在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A,B两点.1如果直线l过抛物线的焦点,求·的值;2如果·=-4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.1解 由题意抛物线焦点为10,设l x=ty+1,代入抛物线y2=4x,消去x得y2-4ty-4=0,设Ax1,y1,Bx2,y2,则y1+y2=4t,y1y2=-4,∴·=x1x2+y1y2=ty1+1ty2+1+y1y2=t2y1y2+ty1+y2+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-
3.2证明 设l x=ty+b,代入抛物线y2=4x,消去x得y2-4ty-4b=0,设Ax1,y1,Bx2,y2,则y1+y2=4t,y1y2=-4b,∴·=x1x2+y1y2=ty1+bty2+b+y1y2=t2y1y2+bty1+y2+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2,∴直线l过定点20.∴若·=-4,则直线l必过一定点.12.给出双曲线x2-=
1.1求以A21为中点的弦所在的直线方程;2若过点A21的直线l与所给双曲线交于P1,P2两点,求线段P1P2的中点P的轨迹方程;3过点B11能否作直线m,使得m与双曲线交于两点Q1,Q2,且B是Q1Q2的中点?这样的直线m若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由.解 1设弦的两端点为P1x1,y1,P2x2,y2,则两式相减得到2x1-x2x1+x2=y1-y2y1+y2,又x1+x2=4,y1+y2=2,所以直线斜率k==
4.故求得直线方程为4x-y-7=
0.2设Px,y,P1x1,y1,P2x2,y2,按照1的解法可得=,
①由于P1,P2,P,A四点共线,得=,
②由
①②可得=,整理得2x2-y2-4x+y=0,检验当x1=x2时,x=2,y=0也满足方程,故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2-y2-4x+y=
0.3假设满足题设条件的直线m存在,按照1的解法可得直线m的方程为y=2x-
1.考虑到方程组无解,因此满足题设条件的直线m是不存在的.13.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C12x2-y2=
1.1过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积.2设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点.若l与圆x2+y2=1相切,求证OP⊥OQ.3设椭圆C24x2+y2=
1.若M、N分别是C
1、C2上的动点,且OM⊥ON,求证O到直线MN的距离是定值.1解 双曲线C1-y2=1,左顶点A,渐近线方程y=±x.不妨取过点A与渐近线y=x平行的直线方程为y=,即y=x+
1.解方程组得所以所求三角形的面积为S=|OA||y|=.2证明 设直线PQ的方程是y=x+b.因为直线PQ与已知圆相切,故=1,即b2=
2.由得x2-2bx-b2-1=
0.设Px1,y
1、Qx2,y2,则又y1y2=x1+bx2+b,所以·=x1x2+y1y2=2x1x2+bx1+x2+b2=2-1-b2+2b2+b2=b2-2=
0.故OP⊥OQ.3证明 当直线ON垂直于x轴时,|ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时,设直线ON的方程为y=kx,则直线OM的方程为y=-x.由得所以|ON|2=.同理|OM|2=.设O到直线MN的距离为d,因为|OM|2+|ON|2d2=|OM|2|ON|2,所以=+==3,即d=.综上,O到直线MN的距离是定值.14.在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段,D为垂足,点M在线段PD上,且|DP|=|DM|,点P在圆上运动.1求点M的轨迹方程;2过定点C-10的直线与点M的轨迹交于A,B两点,在x轴上是否存在点N,使·为常数,若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.解 1设Px0,y0,Mx,y,则x0=x,y0=y.∵Px0,y0在x2+y2=4上,∴x+y=
4.∴x2+2y2=4,即+=
1.点M的轨迹方程为+=1x≠±2.2假设存在.当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+1k≠0,Ax1,y1,Bx2,y2,Nn0,联立方程组整理得1+2k2x2+4k2x+2k2-4=0,∴x1+x2=-,x1x2=.∴·=x1-n,y1·x2-n,y2=1+k2x1·x2+x1+x2k2-n+n2+k2=1+k2×+k2-n×+k2+n2=+n2=+n2=2n2+4n-1-.∵·是与k无关的常数,∴2n+=
0.∴n=-,即N,此时·=-.当直线AB与x轴垂直时,若n=-,则·=-.综上所述,在x轴上存在定点N,使·为常数.。