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2019年高考数学大一轮复习第五章第2讲平面向量的基本定理及向量坐标运算训练理
一、选择题1.已知平面向量a=x1,b=-x,x2,则向量a+b .A.平行于x轴B.平行于第
一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第
二、四象限的角平分线解析 由题意得a+b=x-x1+x2=01+x2,易知a+b平行于y轴.答案 C2.已知平面向量a=12,b=-2,m,且a∥b,则2a+3b= .A.-2,-4B.-3,-6C.-4,-8D.-5,-10解析 由a=12,b=-2,m,且a∥b,得1×m=2×-2⇒m=-4,从而b=-2,-4,那么2a+3b=2×12+3×-2,-4=-4,-8.答案 C3.设向量a=1,-3,b=-24,c=-1,-2,若表示向量4a4b-2c2a-c,d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d为 .A.26B.-26C.2,-6D.-2,-6解析 设d=x,y,由题意知4a=4,-12,4b-2c=-620,2a-c=4,-2,又4a+4b-2c+2a-c+d=0,解得x=-2,y=-6,所以d=-2,-6.故选D.答案 D4.已知向量a=12,b=10,c=34.若λ为实数,a+λb∥c,则λ= .A.B.C.1D.2解析 依题意得a+λb=1+λ,2,由a+λb∥c,得1+λ×4-3×2=0,∴λ=.答案 B
5.若向量=
(12),=
(34),则=A
(46)B-4,-6C-2,-2D22解析因为=+=所以选A.答案A6.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβx,y∈R,则称x,y为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=1,-1,q=21下的坐标为-22,则a在另一组基底m=-11,n=12下的坐标为 .A.20B.0,-2C.-20D.02解析 ∵a在基底p,q下的坐标为-22,即a=-2p+2q=24,令a=xm+yn=-x+y,x+2y,∴即∴a在基底m,n下的坐标为02.答案 D
二、填空题7.若三点A22,Ba0,C0,bab≠0共线,则+的值为________.解析 =a-2,-2,=-2,b-2,依题意,有a-2b-2-4=0,即ab-2a-2b=0,所以+=.答案 8.设向量a,b满足|a|=2,b=21,且a与b的方向相反,则a的坐标为________.解析 设a=λbλ<0,则|a|=|λ||b|,∴|λ|=,又|b|=,|a|=
2.∴|λ|=2,∴λ=-
2.∴a=λb=-221=-4,-2.答案 -4,-29.设=1,-2,=a,-1,=-b0,a0,b0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则+的最小值为________.解析 =-=a-11,=-=-b-12.∵A,B,C三点共线,∴∥.∴2a-1--b-1=0,∴2a+b=
1.∴+=2a+b=4++≥4+2=
8.当且仅当=,即a=,b=时取等号.∴+的最小值是
8.答案 810.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知点A-20,B68,C86,则D点的坐标为________.解析 由条件中的四边形ABCD的对边分别平行,可以判断该四边形ABCD是平行四边形.设Dx,y,则有=,即68--20=86-x,y,解得x,y=0,-2.答案 0,-2
三、解答题11.已知点A-12,B28以及=,=-,求点C,D的坐标和的坐标.解析 设点C,D的坐标分别为x1,y
1、x2,y2,由题意得=x1+1,y1-2,=36,=-1-x22-y2,=-3,-6.因为=,=-,所以有和解得和所以点C,D的坐标分别是
04、-20,从而=-2,-4.12.已知a=12,b=-32,当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?解 法一 ka+b=k12+-32=k-32k+2,a-3b=12-3-32=10,-4,当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ使ka+b=λa-3b,由k-32k+2=λ10,-4得,解得k=λ=-,∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-a+b=-a-3b.∵λ=-0,∴ka+b与a-3b反向.法二 由法一知ka+b=k-32k+2,a-3b=10,-4,∵ka+b与a-3b平行∴k-3×-4-10×2k+2=0,解得k=-,此时ka+b==-a-3b.∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向.13.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=21,A10,Bcosθ,t,1若a∥,且||=||,求向量的坐标;2若a∥,求y=cos2θ-cosθ+t2的最小值.解 1∵=cosθ-1,t,又a∥,∴2t-cosθ+1=
0.∴cosθ-1=2t.
①又∵||=||,∴cosθ-12+t2=
5.
②由
①②得,5t2=5,∴t2=
1.∴t=±
1.当t=1时,cosθ=3舍去,当t=-1时,cosθ=-1,∴B-1,-1,∴=-1,-1.2由1可知t=,∴y=cos2θ-cosθ+=cos2θ-cosθ+=+=2-,∴当cosθ=时,ymin=-.14.已知O00,A12,B45及=+t,求1t为何值时,P在x轴上?P在y轴上?P在第二象限?2四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.解 1=+t=1+3t2+3t.若P在x轴上,则2+3t=0,∴t=-;若P在y轴上,只需1+3t=0,∴t=-;若P在第二象限,则∴-<t<-.2因为=12,=3-3t3-3t.若OABP为平行四边形,则=,∵无解.所以四边形OABP不能成为平行四边形.。