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2019年高考数学大一轮复习第八章第2讲空间几何体的表面积与体积训练理
一、选择题1.棱长为2的正四面体的表面积是 .A.B.4C.4D.16解析 每个面的面积为×2×2×=.∴正四面体的表面积为
4.答案 C2.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的 .A.2倍B.2倍C.倍D.倍解析 由题意知球的半径扩大到原来的倍,则体积V=πR3,知体积扩大到原来的2倍.答案 B3.一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积单位cm2为 .A.48B.64C.80D.120解析 据三视图知,该几何体是一个正四棱锥底面边长为8,直观图如图,PE为侧面△PAB的边AB上的高,且PE=
5.∴此几何体的侧面积是S=4S△PAB=4××8×5=80cm2.答案 C4.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为 .A.B.C.D.解析 在直角三角形ASC中,AC=1,∠SAC=90°,SC=2,∴SA==;同理SB=.过A点作SC的垂线交SC于D点,连接DB,因△SAC≌△SBC,故BD⊥SC,故SC⊥平面ABD,且平面ABD为等腰三角形,因∠ASC=30°,故AD=SA=,则△ABD的面积为×1×=,则三棱锥的体积为××2=.答案 A5.某品牌香水瓶的三视图如下单位cm,则该几何体的表面积为 .A.cm2B.cm2C.cm2D.cm2解析 该几何体的上下为长方体,中间为圆柱.S表面积=S下长方体+S上长方体+S圆柱侧-2S圆柱底=2×4×4+4×4×2+2×3×3+4×3×1+2π××1-2×π2=94+.答案 C6.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为 .A.3B.2C.D.1解析 由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上,作过AB的小圆交直径SC于D,设SD=x,则DC=4-x,此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD,在△SAD和△SBD中,由已知条件可得AD=BD=x,又因为SC为直径,所以∠SBC=∠SAC=90°,所以∠DCB=∠DCA=60°,在△BDC中,BD=4-x,所以x=4-x,所以x=3,AD=BD=,所以三角形ABD为正三角形,所以V=S△ABD×4=.答案 C
二、填空题7.已知S、A、B、C是球O表面上的点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC=,则球O的表面积等于________.解析 将三棱锥S-ABC补形成以SA、AB、BC为棱的长方体,其对角线SC为球O的直径,所以2R=SC=2,R=1,∴表面积为4πR2=4π.答案 4π8.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是________.解析 由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为1,侧棱长为1,斜高为,连接顶点和底面中心即为高,可求得高为,所以体积V=×1×1×=.答案 9.已知某几何体的直观图及三视图如图所示,三视图的轮廓均为正方形,则该几何体的表面积为________.解析 借助常见的正方体模型解决.由三视图知,该几何体由正方体沿面AB1D1与面CB1D1截去两个角所得,其表面由两个等边三角形、四个直角三角形和一个正方形组成.计算得其表面积为12+
4.答案 12+410.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,则以正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为顶点,以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________.解析 设O为正方体外接球的球心,则O也是正方体的中心,O到平面AB1D1的距离是体对角线长的,即为.又球的半径是正方体对角线长的一半,即为3,由勾股定理可知,截面圆的半径为=2,圆锥底面面积为S1=π·22=24π,圆锥的母线即为球的半径3,圆锥的侧面积为S2=π×2×3=18π.因此圆锥的全面积为S=S2+S1=18π+24π=18+24π.答案 18+24π
三、解答题
11.一个几何体的三视图如图所示.已知主视图是底边长为1的平行四边形,左视图是一个长为,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.1求该几何体的体积V;2求该几何体的表面积S.解1由三视图可知,该几何体是一个平行六面体如图,其底面是边长为1的正方形,高为,所以V=1×1×=.2由三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形,S=2×1×1+1×+1×2=6+
2.12.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一动点,如图所示,求CP+PA1的最小值.解 PA1在平面A1BC1内,PC在平面BCC1内,将其铺平后转化为平面上的问题解决.铺平平面A1BC
1、平面BCC1,如图所示.计算A1B=AB1=,BC1=2,又A1C1=6,故△A1BC1是∠A1C1B=90°的直角三角形.CP+PA1≥A1C.在△AC1C中,由余弦定理,得A1C===5,故CP+PA1min=
5.13.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCDEFGH.图
2、图3分别是该标识墩的主视图和俯视图.1请画出该安全标识墩的左视图;2求该安全标识墩的体积.解 1左视图同主视图,如图所示2该安全标识墩的体积为V=VPEFGH+VABCDEFGH=×402×60+402×20=64000cm3.14.如图a,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图b所示.1求证BC⊥平面ACD;2求几何体D-ABC的体积.1证明 在图中,可得AC=BC=2,从而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC,又平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,∴BC⊥平面ACD.2解 由1可知,BC为三棱锥B-ACD的高,BC=2,S△ACD=2,∴VB-ACD=S△ACD·BC=×2×2=,由等体积性可知,几何体D-ABC的体积为.。