2019年高考数学大一轮总复习10.2双曲线高效作业理新人教A版

2019年高考数学大一轮总复习

10.2双曲线高效作业理新人教A版

一、选择题本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．xx·湖北已知0＜θ＜，则双曲线C1－＝1与C2－＝1的　　A．实轴长相等　　　　　B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等解析双曲线C1的离心率e1＝＝＝＝，双曲线C2的离心率e2＝＝＝＝＝＝，所以e1＝e2，而双曲线C1的实轴长为2a1＝2cosθ，虚轴长为2b1＝2sinθ，焦距为2c1＝2＝2，双曲线C2的实轴长为2a2＝2sinθ，虚轴长为2b2＝2sinθtanθ，焦距为2c2＝2＝2＝2tanθ，所以A、B、C均不对，故选D.答案D2．xx·山东实验中学已知△ABP的顶点A、B分别为双曲线C－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于　　A.B.C.D.解析在△ABP中，由正弦定理得＝＝＝＝，故选A.答案A3．xx·华师附中一模已知双曲线9y2－m2x2＝1m0的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等于　　A．1B．2C．3D．4解析9y2－m2x2＝1m0⇒a＝，b＝，取顶点0，，一条渐近线为mx－3y＝0，∵＝⇒m2＋9＝25，∴m＝4，故选D.答案D4．xx·荆门一模已知双曲线的两个焦点为F1－，

0、F2，0，M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是　　A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1解析设双曲线方程为－＝1，且M为右支上一点，由已知|MF1|－|MF2|＝2a，∴||2＋||2－2||||＝4a

2.又∵·＝0，∴⊥.∴4c2－4＝4a2，即b2＝

1.又∵c＝，∴a2＝

9.∴双曲线方程为－y2＝1，故选A.答案A5．xx·绍兴调研P为双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆x＋52＋y2＝4和x－52＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为　　A．6B．7C．8D．9解析易知两圆圆心为F1－50，F250．由双曲线方程知a＝3，b＝4，则c＝5，故两圆心恰好为双曲线的两个焦点．|PM|－|PN|的最大值为如图所示的情况，即|PM|－|PN|≤|PF1|＋|F1M|－|PF2|－|NF2|＝|PF1|＋2－|PF2|＋1＝2a＋3＝2×3＋3＝9，故选D.答案D6．xx·黄冈一模我们把离心率为e＝的双曲线－＝1a0，b0称为黄金双曲线．给出以下几个说法

①双曲线x2－＝1是黄金双曲线；

②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；

③若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；

④若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确的是　　A．

①②B．

①③C．

①③④D．

①②③④解析

①e＝＝＝＝，双曲线是黄金双曲线．

②由b2＝ac，可得c2－a2＝ac，两边同除以a2，即e2－e－1＝0，从而e＝，双曲线是黄金双曲线．

③|F1B1|2＝b2＋c2，|A2B1|2＝b2＋a2，|F1A2|2＝a＋c2，注意到∠F1B1A2＝90°，所以b2＋c2＋b2＋a2＝a＋c2，即b2＝ac，由

②可知双曲线为黄金双曲线．

④∵|MN|＝，由射影定理知|OF2|2＝|MF2|·|F2N|，即c2＝，从而b2＝ac，由

②可知双曲线为黄金双曲线．答案D

二、填空题本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上7．xx·西安一模已知点P是双曲线－＝1上除顶点外的任意一点，F

1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|·|F2M|＝________.解析根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，|F1M|－|F2M|＝|PF1|－|PF2|＝2a，又|F1M|＋|F2M|＝2c，解得|F1M|＝a＋c，|F2M|＝c－a，从而|F1M|·|F2M|＝c2－a2＝b

2.答案b28．xx·荷泽调研已知双曲线－＝1a0，b0的左、右焦点分别为F1－c0，F2c0．若双曲线上存在点P，使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析∵e＝＝＝＝＝1＋，∵|PF2|c－a，即e1＋，∴e2－2e－

10.又∵e1，∴1e＋

1.答案1，＋19．xx·抚顺六校二模过双曲线C－＝1a0，b0的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A、B，若∠AOB＝120°O是坐标原点，则双曲线C的离心率为________．解析如图，由题知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，又OA＝a，OF＝c，∴＝＝cos60°＝，∴＝

2.答案210．xx·湖南设F1，F2是双曲线C－＝1a＞0，b＞0的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．解析依题意及双曲线的对称性，不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，求得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.而|F1F2|＝2c，所以在△PF1F2中由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2，所以4a2＝16a2＋4c2－2·4a·2c·cos30°，即3a2－2ac＋c2＝0，所以a－c＝0，故双曲线C的离心率为.答案

三、解答题本大题共3小题，共40分，

11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤11．xx·南昌模拟已知双曲线－＝1ba0，O为坐标原点，离心率e＝2，点M，在双曲线上．1求双曲线的方程；2若直线l与双曲线交于P、Q两点，且·＝

0.求＋的值．解1∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，双曲线方程为－＝1，即3x2－y2＝3a

2.∵点M，在双曲线上，∴15－3＝3a

2.∴a2＝

4.∴所求双曲线的方程为－＝

1.2设直线OP的方程为y＝kxk≠0，联立－＝1，得∴|OP|2＝x2＋y2＝.则OQ的方程为y＝－x，有|OQ|2＝＝，∴＋＝＝＝.12．点P是以F1，F2为焦点的双曲线E－＝1a0，b0上的一点，已知PF1⊥PF2，|PF1|＝2|PF2|，O为坐标原点．1求双曲线的离心率e；2过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1，P2两点，且·＝－，2＋＝0，求双曲线E的方程．解1∵|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.∵PF1⊥PF2，∴4a2＋2a2＝2c2，即5a2＝c2，∴e＝.2由1知双曲线的方程可设为－＝1，渐近线方程为y＝±2x.设P1x12x1，P2x2，－2x2，Px，y，∵·＝－3x1x2＝－⇒x1x2＝，∵2＋＝0⇒∵点P在双曲线上，∴－＝1，化简得x1x2＝，∴＝⇒a2＝2，∴双曲线方程为－＝

1.13．xx·上海高考在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C12x2－y2＝

1.1过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；2设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2＋y2＝1相切，求证OP⊥OQ；3设椭圆C24x2＋y2＝

1.若M、N分别是C

1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证O到直线MN的距离是定值．解1双曲线C1－y2＝1，左顶点A，渐近线方程为y＝±x.过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为y＝，即y＝x＋

1.解方程组得∴所求三角形的面积为S＝|OA||y|＝.2证明设直线PQ的方程是y＝x＋b，∵直线PQ与已知圆相切，∴＝1，即b2＝

2.由得x2－2bx－b2－1＝

0.设Px1，y

1、Qx2，y2，则又y1y2＝x1＋bx2＋b，∴·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋bx1＋x2＋b2＝2－1－b2＋2b2＋b2＝b2－2＝

0.故OP⊥OQ.3证明当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx，则直线OM的方程为y＝－x.由得∴|ON|2＝.同理|OM|2＝.设O到直线MN的距离为d.∵|OM|2＋|ON|2d2＝|OM|2|ON|2，∴＝＋＝＝3，即d＝.综上，O到直线MN的距离是定值．。