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2019年高考数学总复习第7章第6节直接证明与间接证明课时跟踪检测理(含解析)新人教版1.用反证法证明命题若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是 A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c至多有一个是偶数D.假设a,b,c至多有两个是偶数解析选B 至少有一个的否定是一个也没有,即a,b,c都不是偶数.2.在△ABC中,sinAsinC<cosAcosC,则△ABC一定是 A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定解析选C 由sinAsinC<cosAcosC得,cosAcosC-sinAsinC>0,即cosA+C>0,所以A+C是锐角,从而B>,故△ABC必是钝角三角形.3.在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做恒和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是恒和数列,且a1=2,公和为5,这个数列的前n项和为Sn,则S21的值为 A.42 B.52 C.53 D.63解析选B 由恒和数列的定义,易知a2n-1=2,a2n=3n=12,….所以S21=3×10+2×11=
52.4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证<a”索的因应是 A.a-b>0 B.a-c>0C.a-ba-c>0 D.a-ba-c<0解析选C <a⇔b2-ac<3a2⇔a+c2-ac<3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a2<0⇔-2a2+ac+c2<0⇔2a2-ac-c2>0⇔a-c2a+c>0⇔a-ca-b>
0.故选C.5.若a、b、c是不全相等的正数,给出下列判断
①a-b2+b-c2+c-a2≠0;
②a>b与a<b及a=b中至少有一个成立;
③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.其中判断正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3解析选C 由已知得
①②正确,
③中,a≠c,b≠c,a≠b可能同时成立,如a=1,b=2,c=3,所以
③不正确.故选C.6.“a=”是“对任意正数x,均有x+≥1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析选A 若a=时,则x+=x+≥2=1,当且仅当x=,即x=时等号成立;反之由x+≥2≥1得a≥.故“a=”是“对任意正数x,均有x+≥1”的充分不必要条件.故选A.7.xx·海口调研设a=+2,b=2+,则a,b的大小关系为________.解析a<b 将a=+2,b=2+两式的两边分别平方可得a2=11+4,b2=11+4,由<知a2<b2,从而a<b.8.如果a+b>a+b,则a,b应满足的条件是______.解析a≥0,b≥0且a≠b a+b>a+b,即-2+>0,需满足a≥0,b≥0且a≠b.9.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,则三边a,b,c应满足________.解析b2+c2<a2 由余弦定理,得cosA=<0,所以b2+c2-a2<0,故b2+c2<a
2.10.设a,b是两个实数,给出下列条件
①a+b>1;
②a+b=2;
③a+b>2;
④a2+b2>2;
⑤ab>
1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是________.填序号解析
③ 对于
①若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故
①推不出;对
②若a=b=1,则a+b=2,故
②推不出;对
④若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故
④推不出;对
⑤若a=-2,b=-3,则ab>1,故
⑤推不出;对于
③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,用反证法,假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于
1.11.已知m>0,a,b∈R,求证2≤.证明∵m>0,∴1+m>0,∴要证2≤,即证a+mb2≤1+ma2+mb2,即证ma2-2ab+b2≥0,即证a-b2≥0,又a-b2≥0显然成立,∴2≤.12.xx·青岛质检已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,满足=,函数fx=sinωxω>0在区间上单调递增,在区间上单调递减.1求证b+c=2a;2若f=cosA,求证△ABC为等边三角形.证明1∵=.∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA,∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA,∴sinA+B+sinA+C=2sinA,∴sinC+sinB=2sinA,由正弦定理得b+c=2a.2由题意知=,解得ω=,∵f=sin==cosA,A∈0,π,∴A=.由余弦定理知cosA==,∴b2+c2-a2=bc,∵b+c=2a,∴b2+c2-2=bc,整理得b2+c2-2bc=0,∴b=c,∴△ABC为等边三角形.1.不相等的三个正数a,b,c成等差数列,并且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则x2,b2,y2三数 A.成等比数列而非等差数列B.成等差数列而非等比数列C.既成等差数列又成等比数列D.既非等差数列又非等比数列解析选B 由已知条件,可得由
②③得代入
①,得+=2b,即x2+y2=2b
2.故x2,b2,y2成等差数列.选B.2.已知函数fx=x2-2ax+5在-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|fx1-fx2|≤4,则实数a的取值范围为 A.
[14] B.
[23]C.
[25] D.[3,+∞解析选B 由题意知a≥2,所以二次函数fx=x2-2ax+5的图象的对称轴为x=a∈[1,a+1],且a+1-a≤a-1,∴fxmax=f1=6-2a,fxmin=fa=5-a2,∴6-2a-5-a2≤4,解得-1≤a≤
3.又a≥2,∴2≤a≤
3.故选B.3.已知f11=1,fm,n∈N*m,n∈N*,且对任意m,n∈N*都有
①fm,n+1=fm,n+2;
②fm+11=2fm1.给出以下三个结论1f15=9;2f51=16;3f56=
26.其中正确结论的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0解析选A 1由f11=1和fm,n+1=fm,n+2得f12=f11+1=f11+2=1+2=3,f13=f12+2=5,f14=f13+2=7,f15=f14+2=9;故正确.2由f11=1和fm+11=2fm1得f21=f1+11=2f11=2,f31=2f21=4,f41=2f31=8,f51=2f41=16,故正确.3由fm,n+1=fm,n+2得f56=f55+2,而f55=f54+2,f54=f53+2,f53=f52+2,f52=f51+2=16+2=18,则f56=
26.故正确.因此
1、
2、3都正确,故选A.4.已知点Ann,an为函数y=图象上的点,Bnn,bn为函数y=x图象上的点,其中n∈N*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为________.解析cn+1<cn 由条件得cn=an-bn=-n=,所以cn随n的增大而减小.所以cn+1<cn.5.对于定义域为
[01]的函数fx,如果同时满足以下三条
①对任意的x∈
[01],总有fx≥0;
②f1=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1都有fx1+x2≥fx1+fx2成立,则称函数fx为理想函数.试判断gx=2x-1x∈
[01]是否为理想函数,如果是,请予证明;如果不是,请说明理由.解gx=2x-1x∈
[01]是理想函数,证明如下因为x∈
[01],所以2x≥12x-1≥0,即对任意x∈
[01],总有gx≥0,满足条件
①.g1=21-1=2-1=1,满足条件
②.当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,gx1+x2=2x1+x2-1,gx1+gx2=2x1-1+2x2-1,于是gx1+x2-[gx1+gx2]=2x1+x2-1-2x1-1+2x2-1=2x1·2x2-2x1-2x2+1=2x1-12x2-1.由于x1≥0,x2≥0,所以2x1-1≥02x2-1≥0,于是gx1+x2-[gx1+gx2]≥0,因此gx1+x2≥gx1+gx2,满足条件
③;故函数gx=2x-1x∈
[01]是理想函数.。