2019年高考数学总复习第7章第6节直接证明与间接证明课时跟踪检测理（含解析）新人教版

2019年高考数学总复习第7章第6节直接证明与间接证明课时跟踪检测理（含解析）新人教版1．用反证法证明命题若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是　　A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数解析选B　至少有一个的否定是一个也没有，即a，b，c都不是偶数.2．在△ABC中，sinAsinC＜cosAcosC，则△ABC一定是　　A．锐角三角形　　　　　　B．直角三角形C．钝角三角形　　　　D．不确定解析选C　由sinAsinC＜cosAcosC得，cosAcosC－sinAsinC＞0，即cosA＋C＞0，所以A＋C是锐角，从而B＞，故△ABC必是钝角三角形.3．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做恒和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是恒和数列，且a1＝2，公和为5，这个数列的前n项和为Sn，则S21的值为　　A．42　　　　B．52　　　　C．53　　　　D．63解析选B　由恒和数列的定义，易知a2n－1＝2，a2n＝3n＝12，…．所以S21＝3×10＋2×11＝

52.4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是　　A．a－b＞0　　　　B．a－c＞0C．a－ba－c＞0　　　　D．a－ba－c＜0解析选C　＜a⇔b2－ac＜3a2⇔a＋c2－ac＜3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇔－2a2＋ac＋c2＜0⇔2a2－ac－c2＞0⇔a－c2a＋c＞0⇔a－ca－b＞

0.故选C.5．若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断

①a－b2＋b－c2＋c－a2≠0；

②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；

③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是　　A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3解析选C　由已知得

①②正确，

③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，所以

③不正确．故选C.6．“a＝”是“对任意正数x，均有x＋≥1”的　　A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件C．充要条件　　　　D．既不充分也不必要条件解析选A　若a＝时，则x＋＝x＋≥2＝1，当且仅当x＝，即x＝时等号成立；反之由x＋≥2≥1得a≥.故“a＝”是“对任意正数x，均有x＋≥1”的充分不必要条件．故选A.7．xx·海口调研设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．解析a＜b　将a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，由＜知a2＜b2，从而a＜b.8．如果a＋b＞a＋b，则a，b应满足的条件是______．解析a≥0，b≥0且a≠b　a＋b＞a＋b，即－2＋＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.9．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，则三边a，b，c应满足________．解析b2＋c2＜a2　由余弦定理，得cosA＝＜0，所以b2＋c2－a2＜0，故b2＋c2＜a

2.10．设a，b是两个实数，给出下列条件

①a＋b＞1；

②a＋b＝2；

③a＋b＞2；

④a2＋b2＞2；

⑤ab＞

1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．填序号解析

③　对于

①若a＝，b＝，则a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故

①推不出；对

②若a＝b＝1，则a＋b＝2，故

②推不出；对

④若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故

④推不出；对

⑤若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故

⑤推不出；对于

③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，用反证法，假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于

1.11．已知m＞0，a，b∈R，求证2≤.证明∵m＞0，∴1＋m＞0，∴要证2≤，即证a＋mb2≤1＋ma2＋mb2，即证ma2－2ab＋b2≥0，即证a－b2≥0，又a－b2≥0显然成立，∴2≤.12．xx·青岛质检已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足＝，函数fx＝sinωxω＞0在区间上单调递增，在区间上单调递减．1求证b＋c＝2a；2若f＝cosA，求证△ABC为等边三角形．证明1∵＝.∴sinBcosA＋sinCcosA＝2sinA－cosBsinA－cosCsinA，∴sinBcosA＋cosBsinA＋sinCcosA＋cosCsinA＝2sinA，∴sinA＋B＋sinA＋C＝2sinA，∴sinC＋sinB＝2sinA，由正弦定理得b＋c＝2a.2由题意知＝，解得ω＝，∵f＝sin＝＝cosA，A∈0，π，∴A＝.由余弦定理知cosA＝＝，∴b2＋c2－a2＝bc，∵b＋c＝2a，∴b2＋c2－2＝bc，整理得b2＋c2－2bc＝0，∴b＝c，∴△ABC为等边三角形.1．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数　　A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列解析选B　由已知条件，可得由

②③得代入

①，得＋＝2b，即x2＋y2＝2b

2.故x2，b2，y2成等差数列．选B.2．已知函数fx＝x2－2ax＋5在－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|fx1－fx2|≤4，则实数a的取值范围为　　A．

[14]　　　　B．

[23]C．

[25]　　　　D．[3，＋∞解析选B　由题意知a≥2，所以二次函数fx＝x2－2ax＋5的图象的对称轴为x＝a∈[1，a＋1]，且a＋1－a≤a－1，∴fxmax＝f1＝6－2a，fxmin＝fa＝5－a2，∴6－2a－5－a2≤4，解得－1≤a≤

3.又a≥2，∴2≤a≤

3.故选B.3．已知f11＝1，fm，n∈N*m，n∈N*，且对任意m，n∈N*都有

①fm，n＋1＝fm，n＋2；

②fm＋11＝2fm1．给出以下三个结论1f15＝9；2f51＝16；3f56＝

26.其中正确结论的个数为　　A．3　　　　B．2　　　　C．1　　　　D．0解析选A　1由f11＝1和fm，n＋1＝fm，n＋2得f12＝f11＋1＝f11＋2＝1＋2＝3，f13＝f12＋2＝5，f14＝f13＋2＝7，f15＝f14＋2＝9；故正确．2由f11＝1和fm＋11＝2fm1得f21＝f1＋11＝2f11＝2，f31＝2f21＝4，f41＝2f31＝8，f51＝2f41＝16，故正确．3由fm，n＋1＝fm，n＋2得f56＝f55＋2，而f55＝f54＋2，f54＝f53＋2，f53＝f52＋2，f52＝f51＋2＝16＋2＝18，则f56＝

26.故正确．因此

1、

2、3都正确，故选A.4．已知点Ann，an为函数y＝图象上的点，Bnn，bn为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．解析cn＋1＜cn　由条件得cn＝an－bn＝－n＝，所以cn随n的增大而减小．所以cn＋1＜cn.5．对于定义域为

[01]的函数fx，如果同时满足以下三条

①对任意的x∈

[01]，总有fx≥0；

②f1＝1；

③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1都有fx1＋x2≥fx1＋fx2成立，则称函数fx为理想函数．试判断gx＝2x－1x∈

[01]是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由．解gx＝2x－1x∈

[01]是理想函数，证明如下因为x∈

[01]，所以2x≥12x－1≥0，即对任意x∈

[01]，总有gx≥0，满足条件

①.g1＝21－1＝2－1＝1，满足条件

②.当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，gx1＋x2＝2x1＋x2－1，gx1＋gx2＝2x1－1＋2x2－1，于是gx1＋x2－[gx1＋gx2]＝2x1＋x2－1－2x1－1＋2x2－1＝2x1·2x2－2x1－2x2＋1＝2x1－12x2－1．由于x1≥0，x2≥0，所以2x1－1≥02x2－1≥0，于是gx1＋x2－[gx1＋gx2]≥0，因此gx1＋x2≥gx1＋gx2，满足条件

③；故函数gx＝2x－1x∈

[01]是理想函数．。