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2019年高考数学真题分类汇编
3.2导数的应用理考点一 函数的单调性
1.xx课标Ⅰ115分已知函数fx=ax3-3x2+1若fx存在唯一的零点x0且x00则a的取值范围是 A.2+∞B.1+∞C.-∞-2D.-∞-1答案 C
2.xx课标Ⅱ2112分已知函数fx=ex-e-x-2x.1讨论fx的单调性;2设gx=f2x-4bfx当x0时gx0求b的最大值;3已知
1.
41421.4143估计ln2的近似值精确到
0.
001.解析 1fx=ex+e-x-2≥0等号仅当x=0时成立.所以fx在-∞+∞上单调递增.2gx=f2x-4bfx=e2x-e-2x-4bex-e-x+8b-4xgx=2[e2x+e-2x-2bex+e-x+4b-2]=2ex+e-x-2ex+e-x-2b+
2.i当b≤2时gx≥0等号仅当x=0时成立所以gx在-∞+∞上单调递增.而g0=0所以对任意x0gx
0.ii当b2时若x满足2ex+e-x2b-2即0xlnb-1+时gx
0.而g0=0因此当0x≤lnb-1+时gx
0.综上b的最大值为
2.3由2知gln=-2b+22b-1ln
2.当b=2时gln=-4+6ln20ln
20.6928;当b=+1时lnb-1+=lngln=--2+3+2ln20ln
20.
6934.所以ln2的近似值为
0.
693.
3.xx广东2114分设函数fx=其中k-
2.1求函数fx的定义域D用区间表示;2讨论函数fx在D上的单调性;3若k-6求D上满足条件fxf1的x的集合用区间表示.解析 1由题意得x2+2x+k2+2x2+2x+k-30∴[x2+2x+k+3]·[x2+2x+k-1]0∴x2+2x+k-3或x2+2x+k1∴x+12-2-k-2-k0或x+122-k2-k0∴|x+1|或|x+1|∴-1-x-1+或x-1-或x-1+∴函数fx的定义域D为-∞-1-∪-1--1+∪-1++∞.2fx=-=-由fx0得x2+2x+k+12x+20即x+1+x+1-x+10∴x-1-或-1x-1+结合定义域知x-1-或-1x-1+所以函数fx的单调递增区间为-∞-1--1-1+同理递减区间为-1--1-1++∞.3由fx=f1得x2+2x+k2+2x2+2x+k-3=3+k2+23+k-3∴[x2+2x+k2-3+k2]+2[x2+2x+k-3+k]=0∴x2+2x+2k+5·x2+2x-3=0∴x+1+x+1-·x+3x-1=0∴x=-1-或x=-1+或x=-3或x=1∵k-6∴1∈-1-1+-3∈-1--1-1--1--1+-1+结合函数fx的单调性知fxf1的解集为-1--1-∪-1--3∪1-1+∪-1+-1+.考点二 函数的极值与最值
4.xx课标Ⅱ125分设函数fx=sin.若存在fx的极值点x0满足+[fx0]2m2则m的取值范围是 A.-∞-6∪6+∞B.-∞-4∪4+∞C.-∞-2∪2+∞D.-∞-1∪1+∞答案 C
5.xx安徽1812分设函数fx=1+1+ax-x2-x3其中a
0.1讨论fx在其定义域上的单调性;2当x∈
[01]时求fx取得最大值和最小值时的x的值.解析 1fx的定义域为-∞+∞fx=1+a-2x-3x
2.令fx=0得x1=x2=x1x2所以fx=-3x-x1x-x
2.当xx1或xx2时fx0;当x1xx2时fx
0.故fx在-∞x1和x2+∞内单调递减在x1x2内单调递增.2因为a0所以x10x
20.
①当a≥4时x2≥
1.由1知fx在
[01]上单调递增.所以fx在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.
②当0a4时x
21.由1知fx在[0x2]上单调递增在[x21]上单调递减.所以fx在x=x2=处取得最大值.又f0=1f1=a所以当0a1时fx在x=1处取得最小值;当a=1时fx在x=0处和x=1处同时取得最小值;当1a4时fx在x=0处取得最小值.
6.xx山东2013分设函数fx=-kk为常数e=
2.71828…是自然对数的底数.1当k≤0时求函数fx的单调区间;2若函数fx在02内存在两个极值点求k的取值范围.解析 1函数y=fx的定义域为0+∞.fx=-k=-=.由k≤0可得ex-kx0所以当x∈02时fx0函数y=fx单调递减当x∈2+∞时fx0函数y=fx单调递增.所以fx的单调递减区间为02单调递增区间为2+∞.2由1知当k≤0时函数fx在02内单调递减故fx在02内不存在极值点;当k0时设函数gx=ex-kxx∈[0+∞.因为gx=ex-k=ex-elnk当0k≤1时当x∈02时gx=ex-k0y=gx单调递增故fx在02内不存在两个极值点;当k1时得x∈0lnk时gx0函数y=gx单调递减x∈lnk+∞时gx0函数y=gx单调递增.所以函数y=gx的最小值为glnk=k1-lnk.函数fx在02内存在两个极值点当且仅当解得ek.综上所述函数fx在02内存在两个极值点时k的取值范围为.
7.xx福建2014分已知函数fx=ex-axa为常数的图象与y轴交于点A曲线y=fx在点A处的切线斜率为-
1.1求a的值及函数fx的极值;2证明:当x0时x2ex;3证明:对任意给定的正数c总存在x0使得当x∈x0+∞时恒有x2cex.解析 解法一:1由fx=ex-ax得fx=ex-a.又f0=1-a=-1得a=
2.所以fx=ex-2xfx=ex-
2.令fx=0得x=ln
2.当xln2时fx0fx单调递减;当xln2时fx0fx单调递增.所以当x=ln2时fx取得极小值且极小值为fln2=eln2-2ln2=2-ln4fx无极大值.2令gx=ex-x2则gx=ex-2x.由1得gx=fx≥fln20故gx在R上单调递增又g0=10因此当x0时gxg00即x2ex.3
①若c≥1则ex≤cex.又由2知当x0时x2ex.所以当x0时x2cex.取x0=0当x∈x0+∞时恒有x2cex.
②若0c1令k=1要使不等式x2cex成立只要exkx2成立.而要使exkx2成立则只要xlnkx2只要x2lnx+lnk成立.令hx=x-2lnx-lnk则hx=1-=所以当x2时hx0hx在2+∞内单调递增.取x0=16k16所以hx在x0+∞内单调递增又hx0=16k-2ln16k-lnk=8k-ln2+3k-lnk+5k易知klnkkln25k0所以hx
00.即存在x0=当x∈x0+∞时恒有x2cex.综上对任意给定的正数c总存在x0当x∈x0+∞时恒有x2cex.解法二:1同解法一.2同解法一.3对任意给定的正数c取x0=由2知当x0时exx2所以ex=·当xx0时ex=x2因此对任意给定的正数c总存在x0当x∈x0+∞时恒有x2cex.解法三:1同解法一.2同解法一.3首先证明当x∈0+∞时恒有x3ex.证明如下:令hx=x3-ex则hx=x2-ex.由2知当x0时x2ex从而hx0hx在0+∞内单调递减所以hxh0=-10即x3ex.取x0=当xx0时有x2x3ex.因此对任意给定的正数c总存在x0当x∈x0+∞时恒有x2cex.注:对c的分类可有不同的方式只要解法正确均相应给分.考点三 导数的综合应用
8.xx陕西105分如图某飞行器在4千米高空水平飞行从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分则该函数的解析式为 A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x答案 A
9.xx辽宁115分当x∈[-21]时不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立则实数a的取值范围是 A.[-5-3]B.C.[-6-2]D.[-4-3]答案 C
10.xx课标Ⅰ2112分设函数fx=aexlnx+曲线y=fx在点1f1处的切线方程为y=ex-1+
2.1求ab;2证明:fx
1.解析 1函数fx的定义域为0+∞fx=aexlnx+ex-ex-1+ex-
1.由题意可得f1=2f1=e.故a=1b=
2.2由1知fx=exlnx+ex-1从而fx1等价于xlnxxe-x-.设函数gx=xlnx则gx=1+lnx.所以当x∈时gx0;当x∈时gx
0.故gx在上单调递减在上单调递增从而gx在0+∞上的最小值为g=-.设函数hx=xe-x-则hx=e-x1-x.所以当x∈01时hx0;当x∈1+∞时hx
0.故hx在01上单调递增在1+∞上单调递减从而hx在0+∞上的最大值为h1=-.综上当x0时gxhx即fx
1.
11.xx北京1813分已知函数fx=xcosx-sinxx∈.1求证:fx≤0;2若ab对x∈恒成立求a的最大值与b的最小值.解析 1由fx=xcosx-sinx得fx=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.因为在区间上fx=-xsinx0所以fx在区间上单调递减.从而fx≤f0=
0.2当x0时“a”等价于“sinx-ax0”;“b”等价于“sinx-bx0”.令gx=sinx-cx则gx=cosx-c.当c≤0时gx0对任意x∈恒成立.当c≥1时因为对任意x∈gx=cosx-c0所以gx在区间上单调递减.从而gxg0=0对任意x∈恒成立.当0c1时存在唯一的x0∈使得gx0=cosx0-c=
0.gx与gx在区间上的情况如下:x0x0x0gx+0-gx↗↘因为gx在区间[0x0]上是增函数所以gx0g0=
0.进一步“gx0对任意x∈恒成立”当且仅当g=1-c≥0即0c≤.综上所述当且仅当c≤时gx0对任意x∈恒成立;当且仅当c≥1时gx0对任意x∈恒成立.所以若ab对任意x∈恒成立则a的最大值为b的最小值为
1.
12.xx江西1812分已知函数fx=x2+bx+bb∈R.1当b=4时求fx的极值;2若fx在区间上单调递增求b的取值范围.解析 1当b=4时fx=由fx=0得x=-2或x=
0.当x∈-∞-2时fx0fx单调递减;当x∈-20时fx0fx单调递增;当x∈时fx0fx单调递减故fx在x=-2处取极小值f-2=0在x=0处取极大值f0=
4.2fx=因为当x∈时0依题意当x∈时有5x+3b-2≤0从而+3b-2≤
0.所以b的取值范围为.
13.xx天津2014分设fx=x-aexa∈Rx∈R.已知函数y=fx有两个零点x1x2且x1x
2.1求a的取值范围;2证明随着a的减小而增大;3证明x1+x2随着a的减小而增大.解析 1由fx=x-aex可得fx=1-aex下面分两种情况讨论:
①a≤0时fx0在R上恒成立可得fx在R上单调递增不合题意.
②a0时由fx=0得x=-lna.当x变化时fxfx的变化情况如下表:x-∞-lna-lna-lna+∞fx+0-fx↗-lna-1↘这时fx的单调递增区间是-∞-lna;单调递减区间是-lna+∞.于是“函数y=fx有两个零点”等价于如下条件同时成立:if-lna0;ii存在s1∈-∞-lna满足fs10;iii存在s2∈-lna+∞满足fs
20.由f-lna0即-lna-10解得0ae-
1.而此时取s1=0满足s1∈-∞-lna且fs1=-a0;取s2=+ln满足s2∈-lna+∞且fs2=+
0.所以a的取值范围是0e-
1.2证明:由fx=x-aex=0有a=.设gx=由gx=知gx在-∞1上单调递增在1+∞上单调递减.并且当x∈-∞0]时gx≤0;当x∈0+∞时gx
0.由已知x1x2满足a=gx1a=gx
2.由a∈0e-1及gx的单调性可得x1∈01x2∈1+∞.对于任意的a1a2∈0e-1设a1a2gξ1=gξ2=a1其中0ξ11ξ2;gη1=gη2=a2其中0η11η
2.因为gx在01上单调递增故由a1a2即gξ1gη1可得ξ1η1;类似可得ξ2η
2.又由ξ1η10得.所以随着a的减小而增大.3证明:由x1=ax2=a可得lnx1=lna+x1lnx2=lna+x
2.故x2-x1=lnx2-lnx1=ln.设=t则t1且解得x1=x2=.所以x1+x2=.*令hx=x∈1+∞则hx=.令ux=-2lnx+x-得ux=.当x∈1+∞时ux
0.因此ux在1+∞上单调递增故对于任意的x∈1+∞uxu1=0由此可得hx0故hx在1+∞上单调递增.因此由*可得x1+x2随着t的增大而增大.而由2知t随着a的减小而增大所以x1+x2随着a的减小而增大.
14.xx辽宁2112分已知函数fx=cosx-xπ+2x-sinx+1gx=3x-πcosx-41+sinxln.证明:1存在唯一x0∈使fx0=0;2存在唯一x1∈使gx1=0且对1中的x0有x0+x1π.证明 1当x∈时fx=-1+sinxπ+2x-2x-cosx0函数fx在上为减函数又f0=π-0f=-π2-0所以存在唯一x0∈使fx0=
0.2考虑函数hx=-4lnx∈.令t=π-x则x∈时t∈.记ut=hπ-t=-4ln则ut=.由1得当t∈0x0时ut0当t∈时ut
0.在0x0上ut是增函数又u0=0从而当t∈0x0]时ut0所以ut在0x0]上无零点.在上ut为减函数由ux00u=-4ln20知存在唯一t1∈使ut1=
0.所以存在唯一的t1∈使ut1=
0.因此存在唯一的x1=π-t1∈使hx1=hπ-t1=ut1=
0.因为当x∈时1+sinx0故gx=1+sinxhx与hx有相同的零点所以存在唯一的x1∈使gx1=
0.因x1=π-t1t1x0所以x0+x1π.
15.xx湖南2213分已知常数a0函数fx=ln1+ax-.1讨论fx在区间0+∞上的单调性;2若fx存在两个极值点x1x2且fx1+fx20求a的取值范围.解析 1fx=-=.*当a≥1时fx0此时fx在区间0+∞上单调递增.当0a1时由fx=0得x1=2x2=-2舍去.当x∈0x1时fx0;当x∈x1+∞时fx0故fx在区间0x1上单调递减在区间x1+∞上单调递增.综上所述当a≥1时fx在区间0+∞上单调递增;当0a1时fx在区间上单调递减在区间上单调递增.2由*式知当a≥1时fx≥0此时fx不存在极值点.因而要使得fx有两个极值点必有0a1又fx的极值点只可能是x1=2和x2=-2且由fx的定义可知x-且x≠-2所以-2--2≠-2解得a≠.此时由*式易知x1x2分别是fx的极小值点和极大值点.而fx1+fx2=ln1+ax1-+ln1+ax2-=ln[1+ax1+x2+a2x1x2]-=ln2a-12-=ln2a-12+-2令2a-1=x由0a1且a≠知当0a时-1x0;当a1时0x1记gx=lnx2+-
2.i当-1x0时gx=2ln-x+-2所以gx=-=0因此gx在区间-10上单调递减从而gxg-1=-40故当0a时fx1+fx
20.ii当0x1时gx=2lnx+-2所以gx=-=0因此gx在区间01上单调递减从而gxg1=0故当a1时fx1+fx
20.综上所述满足条件的a的取值范围为.
16.xx湖北2214分π为圆周率e=
2.71828…为自然对数的底数.1求函数fx=的单调区间;2求e33eeππe3ππ3这6个数中的最大数与最小数;3将e33eeππe3ππ3这6个数按从小到大的顺序排列并证明你的结论.解析 1函数fx的定义域为0+∞.因为fx=所以fx=.当fx0即0xe时函数fx单调递增;当fx0即xe时函数fx单调递减.故函数fx的单调递增区间为0e单调递减区间为e+∞.2因为e3π所以eln3elnππlneπln3即ln3elnπelneπln3π.于是根据函数y=lnxy=exy=πx在定义域上单调递增可得3eπeπ3e3eπ3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中最小数在3e与e3之中.由e3π及1的结论得fπf3fe即.由得lnπ3ln3π所以3ππ3;由得ln3elne3所以3ee
3.综上6个数中的最大数是3π最小数是3e.3由2知3eπeπ33π3ee
3.又由2知得πeeπ.故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小.由1知当0xe时fxfe=即.在上式中令x=又e则ln从而2-lnπ即得lnπ2-.
①由
①得elnπe
2.7×
2.7×2-
0.88=
3.0243即elnπ3亦即lnπelne3所以e3πe.又由
①得3lnπ6-6-eπ即3lnππ所以eππ
3.综上可得3ee3πeeππ33π即6个数从小到大的顺序为3ee3πeeππ33π.
17.xx重庆2012分已知函数fx=ae2x-be-2x-cxabc∈R的导函数fx为偶函数且曲线y=fx在点0f0处的切线的斜率为4-c.1确定ab的值;2若c=3判断fx的单调性;3若fx有极值求c的取值范围.解析 1对fx求导得fx=2ae2x+2be-2x-c由fx为偶函数知f-x=fx即2a-be2x+e-2x=0因为e2x+e-2x0所以a=b.又f0=2a+2b-c=4-c故a=1b=
1.2当c=3时fx=e2x-e-2x-3x那么fx=2e2x+2e-2x-3≥2-3=10故fx在R上为增函数.3由1知fx=2e2x+2e-2x-c而2e2x+2e-2x≥2=4当x=0时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当c4时对任意x∈Rfx=2e2x+2e-2x-c0此时fx无极值;当c=4时对任意x≠0fx=2e2x+2e-2x-40此时fx无极值;当c4时令e2x=t注意到方程2t+-c=0有两根t12=0即fx=0有两个根x1=lnt1x2=lnt
2.当x1xx2时fx0;又当xx2时fx0从而fx在x=x2处取得极小值.综上若fx有极值则c的取值范围为4+∞.
18.xx浙江2214分已知函数fx=x3+3|x-a|a∈R.1若fx在[-11]上的最大值和最小值分别记为Mama求Ma-ma;2设b∈R.若[fx+b]2≤4对x∈[-11]恒成立求3a+b的取值范围.解析 1因为fx=所以fx=由于-1≤x≤1i当a≤-1时有x≥a故fx=x3+3x-3a.此时fx在-11上是增函数因此Ma=f1=4-3ama=f-1=-4-3a故Ma-ma=4-3a--4-3a=
8.ii当-1a1时若x∈a1则fx=x3+3x-3a在a1上是增函数;若x∈-1a则fx=x3-3x+3a在-1a上是减函数所以Ma=max{f1f-1}ma=fa=a3由于f1-f-1=-6a+2因此当-1a≤时Ma-ma=-a3-3a+4;当a1时Ma-ma=-a3+3a+
2.iii当a≥1时有x≤a故fx=x3-3x+3a此时fx在-11上是减函数因此Ma=f-1=2+3ama=f1=-2+3a故Ma-ma=2+3a--2+3a=
4.综上Ma-ma=2令hx=fx+b则hx=hx=因为[fx+b]2≤4对x∈[-11]恒成立即-2≤hx≤2对x∈[-11]恒成立所以由1知i当a≤-1时hx在-11上是增函数hx在[-11]上的最大值是h1=4-3a+b最小值是h-1=-4-3a+b则-4-3a+b≥-2且4-3a+b≤2矛盾.ii当-1a≤时hx在[-11]上的最小值是ha=a3+b最大值是h1=4-3a+b所以a3+b≥-2且4-3a+b≤2从而-2-a3+3a≤3a+b≤6a-2且0≤a≤.令ta=-2-a3+3a则ta=3-3a20ta在上是增函数故ta≥t0=-2因此-2≤3a+b≤
0.iii当a1时hx在[-11]上的最小值是ha=a3+b最大值是h-1=3a+b+2所以a3+b≥-2且3a+b+2≤2解得-3a+b≤
0.iv当a≥1时hx在[-11]上的最大值是h-1=2+3a+b最小值是h1=-2+3a+b所以3a+b+2≤2且3a+b-2≥-2解得3a+b=
0.综上得3a+b的取值范围是-2≤3a+b≤
0.
19.xx四川2114分已知函数fx=ex-ax2-bx-1其中ab∈Re=
2.71828…为自然对数的底数.1设gx是函数fx的导函数求函数gx在区间
[01]上的最小值;2若f1=0函数fx在区间01内有零点求a的取值范围.解析 1由fx=ex-ax2-bx-1有gx=fx=ex-2ax-b.所以gx=ex-2a.因此当x∈
[01]时gx∈[1-2ae-2a].当a≤时gx≥0所以gx在
[01]上单调递增.因此gx在
[01]上的最小值是g0=1-b;当a≥时gx≤0所以gx在
[01]上单调递减因此gx在
[01]上的最小值是g1=e-2a-b;当a时令gx=0得x=ln2a∈
01.所以函数gx在区间[0ln2a]上单调递减在区间ln2a1]上单调递增.于是gx在
[01]上的最小值是gln2a=2a-2aln2a-b.综上所述当a≤时gx在
[01]上的最小值是g0=1-b;当a时gx在
[01]上的最小值是gln2a=2a-2aln2a-b;当a≥时gx在
[01]上的最小值是g1=e-2a-b.2设x0为fx在区间01内的一个零点则由f0=fx0=0可知fx在区间0x0上不可能单调递增也不可能单调递减.则gx不可能恒为正也不可能恒为负.故gx在区间0x0内存在零点x
1.同理gx在区间x01内存在零点x
2.所以gx在区间01内至少有两个零点.由1知当a≤时gx在
[01]上单调递增故gx在01内至多有一个零点.当a≥时gx在
[01]上单调递减故gx在01内至多有一个零点.所以a.此时gx在区间[0ln2a]上单调递减在区间ln2a1]上单调递增.因此x1∈0ln2a]x2∈ln2a1必有g0=1-b0g1=e-2a-b
0.由f1=0有a+b=e-12有g0=1-b=a-e+20g1=e-2a-b=1-a
0.解得e-2a
1.当e-2a1时gx在区间
[01]内有最小值gln2a.若gln2a≥0则gx≥0x∈
[01]从而fx在区间
[01]上单调递增这与f0=f1=0矛盾所以gln2a
0.又g0=a-e+20g1=1-a0故此时gx在0ln2a和ln2a1内各只有一个零点x1和x
2.由此可知fx在[0x1]上单调递增在x1x2上单调递减在[x21]上单调递增.所以fx1f0=0fx2f1=0故fx在x1x2内有零点.综上可知a的取值范围是e-
21.。