中考数学全程演练第二部分图形与几何第八单元四边形第28课时矩形菱形正方形

第28课时　矩形、菱形、正方形60分

一、选择题每题4分，共24分1．[xx·泸州]菱形具有而平行四边形不具有的性质是DA．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．[xx·衢州]如图28－1，已知某菱形花坛ABCD的周长是24m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是BA．6mB．6mC．3mD．3m【解析】　易知△ABC为等边三角形，所以AC＝AB＝6m.3．[xx·益阳]如图28－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是DA．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OBD．OA＝AD图28－2　　　　　图28－34．[xx·福州]如图28－3，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为CA．45°B．55°C．60°D．75°【解析】　∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°＋60°＝150°，∴∠ABE＝180°－150°÷2＝15°，又∵∠BAC＝45°，∴∠BFC＝45°＋15°＝60°.5．[xx·临沂]如图28－4，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是BA．AB＝BEB．BE⊥DCC．∠ADB＝90°D．CE⊥DE【解析】　因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD綊BC，因为DE＝AD，所以DE綊BC所以四边形EDBC为平行四边形，A．假若AB＝BE，因为AB＝BE，AD＝DE，BD＝BD，所以△ADB≌△EDB，所以∠BDE＝90°，所以四边形EDBC为矩形；B．假若BE⊥DC，可得四边形EDBC为菱形；C．假若∠ADB＝90°，所以∠EDB＝90°，所以四边形EDBC为矩形；D．假若CE⊥DE，所以∠DEC＝90°，所以四边形EDBC为矩形，故选B.6．[xx·日照]小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件

①AB＝BC，

②∠ABC＝90°，

③AC＝BD，

④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形如图28－5现有下列四种选法，你认为其中错误的是BA．

①②B．

②③C．

①③D．

②④【解析】　此题考查正方形的判定，即在▱ABCD的基础上，需要再同时具备矩形和菱形的特征．

①是菱形的特征；

②是矩形的特征；

③是矩形的特征，

④是菱形的特征．而B中都是矩形的特征，故选B.

二、填空题每题4分，共20分7．[xx·铜仁]已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为__24__cm

2.8．[xx·衡阳]如图28－6，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为__10__．9．[xx·上海]已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝__

22.5__度．10．[xx·淄博]已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形．你添加的条件是__AB＝BC或AC⊥BD等__．11．[xx·资阳]如图28－7，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．图28－7【解析】　如答图，连结BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ＋QE的最小值，∵DE＝BQ＋QE＝5，∴△BEQ周长的最小值＝DE＋BE＝5＋1＝

6.

三、解答题共20分12．10分[xx·安顺]如图28－8，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.1求证AE＝DF；2若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．证明1∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF；2若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，理由如下∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵AE∥DF，∴∠EAD＝ADF，∠DAF＝∠FDA，∴AF＝DF，∴平行四边形AEDF为菱形．13．10分[xx·青岛]已知如图28－9，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.1求证△ABD≌△CAE；2连结DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．解1证明∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，BD＝CD.∵AE∥BC，CE⊥AE，∴四边形ADCE是矩形，∴AD＝CE.在Rt△ABD与Rt△CAE中，∴△ABD≌△CAEHL；2DE∥AB，DE＝AB.证明如下如答图所示，∵四边形ADCE是矩形，∴AE＝CD＝BD，AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴DE∥AB，DE＝AB.20分14．10分[xx·扬州]如图28－10，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.1判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；2连结CG，求证四边形CBEG是正方形．解1DE⊥FG，理由如下由题意得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠BDE＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°，∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG；2证明∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°，∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．15．10分[xx·南京]如图28－11，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.1求证四边形EGFH是矩形；2小明在完成1的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD交于点P，Q，得到四边形MNQP.此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路由AB∥CD，MN∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN＝NQ.由已知条件__FG平分∠CFE__，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MEG≌△QFH，易证__GE＝FH__，__∠GME＝∠FQH__.故只要证∠MGE＝∠QFH.易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，__∠GEF＝∠EFH__，即可得证．图28－11解1证明∵EH平分∠BEF.∴∠FEH＝∠BEF，∵FH平分∠DFE，∴∠EFH＝∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°，∴∠FEH＋∠EFH＝∠BEF＋∠DFE＝×180°＝90°，又∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°－∠FEH＋∠EFH＝180°－90°＝90°，同理可证，∠EGF＝90°，∵EG平分∠AEF，∴∠FEG＝∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH＝∠BEF，∵点A，E，B在同一条直线上．∴∠AEB＝180°，即∠AEF＋∠BEF＝180°.∴∠FEG＋∠FEH＝∠AEF＋∠BEF＝×180°＝90°，即∠GEH＝90°.∴四边形EGFH是矩形；2本题答案不唯一，下列解法供参考．例如，FG平分∠CFE；GE＝FH；∠GME＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH.16分16．6分[xx·资阳]若顺次连结四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是DA．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形17．10分如图28－12，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；…；按此规律继续下去，则四边形A2B2C2D2的周长是__20__；四边形A2016B2016C2016D2016的周长是____．图28－12图28－1图28－4图28－5图28－6第11题答图图28－8图28－9第13题答图图28－10。