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方法技巧训练四 解直角三角形中常见的基本模型模型1 单一直角三角形 1.xx·宜宾某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱AB,CD均垂直于地面,点E在线段BD上,在C点测得点A的仰角为30°,点E的俯角也为30°,测得B,E间距离为10米,立柱AB高30米.求立柱CD的高.结果保留根号解作CH⊥AB于点H,则四边形HBDC为矩形,∴BD=CH.由题意得,∠ACH=30°,∠CED=30°.设CD=x米,则AH=30-x米.在Rt△AHC中,HC==30-x,则BD=CH=30-x.∴ED=30-x-10=30-x-
10.在Rt△CDE中,=tan∠CED,即==,解得x=15-.答立柱CD的高为15-米.模型2 背靠背型及其变式2.xx·眉山知识改变世界,科技改变生活.导航装备的不断更新极大地方便了人们的出行.如图,某校组织学生乘车到黑龙滩用C表示开展社会实践活动,车到达A地后,发现C地恰好在A地的正北方向,且距离A地13千米,导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地,再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地,求B,C两地的距离.参考数据sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈解过点B作BD⊥AC于点D.由题意,知∠BAD=60°,则∠ABD=30°,∠CBD=53°.在△BCD中,tan∠CBD=,即tan53°==.设CD=4x,BD=3x,则CB=5x.又∵AC=13,∴AD=13-4x.在△ABD中,tan∠DAB=tan60°=,即=,解得x=4-.∴BC=5x=20-
5.答B,C两地的距离是20-5千米.3.xx·通辽我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰,如图,其中山脚A,C两地海拔约为1000米,山顶B处的海拔约为1400米,由B处望山脚A处的俯角为30°,由B处望山脚C处的俯角为45°.若在A,C两地间打通一隧道,求隧道最短为多少米.结果保留整数,参考数据≈
1.732解作BD⊥AC于点D.由题意可得BD=1400-1000=400米.∠BAC=30°,∠BCA=45°.在Rt△ABD中,∵tan30°=,即=.∴AD=400米.∵tan45°=,即=
1.∴CD=400米.∴AC=AD+CD=400+400≈1093米.答隧道最短为1093米.模型3 母子型及其变式4.xx·德州如图,两座建筑物的水平距离BC为60m.从C点测得A点的仰角α为53°,从A点测得D点的俯角β为37°,求两座建筑物的高度.参考数据sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈,sim53°≈,cos53°≈,tan53°≈解过点D作DE⊥AB于点E,则DE=BC=60m.在Rt△ABC中,tan53°=,∴=∴AB=80m.在Rt△ADE中,tan37°=,∴=,∴AE=45m.∴CD=BE=AB-AE=35m.答两座建筑物的高度分别为80m和35m.5.xx·桂林如图,在某海域,一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号,经确定,遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上,且BC=60海里;指挥船搜索发现,在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A,恰好位于B处的正西方向.于是命令海监船A前往搜救,已知海监船A的航行速度为30海里/小时,问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援?参考数据≈
1.41,≈
1.73,≈
2.45,结果精确到
0.1小时解延长AB交南北轴于点D,则AB⊥CD于点D.∵∠BCD=45°,BD⊥CD,∴BD=CD.在Rt△BDC中,∵cos∠BCD=,BC=60,即cos45°==,解得CD=
30.∴BD=CD=
30.在Rt△ADC中,∵tan∠ACD=,即tan60°==,解得AD=
30.∴AB=AD-BD=30-30=30-.∴渔船在B处需要等待的时间为==-≈
1.0小时.答渔船在B处需要等待
1.0小时.模型4 其他模型 6.xx·张家界2017年9月8日~10日,第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行,来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图,某选手从离水平地面1000米高的A点出发AB=1000米,沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点,然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点,求该选手飞行的水平距离BC. 解过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.由题意知∠ADE=30°,∠CDF=30°,∴AE=AD=×1400=700,DE=AD·cos30°=
700.∴DF=EB=AB-AE=1000-700=
300.∵tan∠CDF=,∴FC=300×=
100.∴BC=BF+FC=DE+FC=700+100=800米.答该选手飞行的水平距离BC是800米.。