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第一部分 第七章 课时25如图,在矩形OABC中,已知A,C两点的坐标分别为A40,C02,D为OA的中点.设点P是∠AOC平分线上的一个动点不与点O重合.1试证明无论点P运动到何处,PC总与PD相等;2当点P运动到与点B的距离最小时,求点P的坐标;3已知E1,-1,当点P运动到何处时,△PDE的周长最小?求出此时点P的坐标和△PDE的周长.1证明∵A40,C02,D为OA的中点,∴D点坐标为20,∴OC=OD.又∵点P是∠AOC平分线上的一个动点不与点O重合,∴∠COP=∠DOP=45°,∴△POC≌△POD,∴PC=PD,即无论点P运动到何处,PC总与PD相等.2解过B作BP垂直∠AOC的平分线于P点,过P点作PN⊥x轴于点N,交BC于M点,OP交BC于H点,如答图
1.∵OP平分∠AOC,∴∠COP=∠NOP=45°,∴△PHM,△COH和△PON都是等腰直角三角形,∴△PHB是等腰直角三角形,∴PM垂直平分BH,∴CH=CO=2,∴BH=4-2=2,∴PM=BH=1,∴ON=PN=1+2=3,∴P点坐标为33.答图1答图23解连接CE交∠AOC的平分线于P点,连接PD,CD,ED,如答图
2.∵OC=OD,OP平分∠AOC,∴OP垂直平分CD,∴PC=PD,∴PD+PE=PC+PE=CE,此时△PDE的周长最小.设直线CE的解析式为y=kx+bk≠0,把C02,E1,-1分别代入,得解得∴直线CE的解析式为y=-3x+2,而P点的横纵坐标相等,设Pa,a,把P点坐标代入y=-3x+2,得a=-3a+2,解得a=,∴P点坐标为,.∵CE==,DE==,∴此时△PDE的周长为+.。