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xx中考数学试题分类汇编考点27菱形一.选择题(共4小题)1.(xx•十堰)菱形不具备的性质是( )A.四条边都相等B.对角线一定相等C.是轴对称图形D.是中心对称图形【分析】根据菱形的性质即可判断;【解答】解菱形的四条边相等,是轴对称图形,也是中心对称图形,对角线垂直不一定相等,故选B. 2.(xx•哈尔滨)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=8,tan∠ABD=,则线段AB的长为( )A.B.2C.5D.10【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,求出OB,解直角三角形求出AO,根据勾股定理求出AB即可.【解答】解∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,∴∠AOB=90°,∵BD=8,∴OB=4,∵tan∠ABD==,∴AO=3,在Rt△AOB中,由勾股定理得AB===5,故选C. 3.(xx•淮安)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是( )A.20B.24C.40D.48【分析】由菱形对角线的性质,相互垂直平分即可得出菱形的边长,菱形四边相等即可得出周长.【解答】解由菱形对角线性质知,AO=AC=3,BO=BD=4,且AO⊥BO,则AB==5,故这个菱形的周长L=4AB=20.故选A. 4.(xx•贵阳)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EF∥CB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为( )A.24B.18C.12D.9【分析】易得BC长为EF长的2倍,那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解.【解答】解∵E是AC中点,∵EF∥BC,交AB于点F,∴EF是△ABC的中位线,∴EF=BC,∴BC=6,∴菱形ABCD的周长是4×6=24.故选A. 二.填空题(共6小题)5.(xx•香坊区)已知边长为5的菱形ABCD中,对角线AC长为6,点E在对角线BD上且tan∠EAC=,则BE的长为 3或5 .【分析】根据菱形的性质和分两种情况进行解答即可.【解答】解当点E在对角线交点左侧时,如图1所示∵菱形ABCD中,边长为5,对角线AC长为6,∴AC⊥BD,BO=,∵tan∠EAC==,解得OE=1,∴BE=BO﹣OE=4﹣1=3,当点E在对角线交点左侧时,如图2所示∵菱形ABCD中,边长为5,对角线AC长为6,∴AC⊥BD,BO=,∵tan∠EAC==,解得OE=1,∴BE=BO﹣OE=4+1=5,故答案为3或5; 6.(xx•湖州)如图,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan∠BAC=,AC=6,则BD的长是 2 .【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD,OA=AC=3,BD=2OB.再解Rt△OAB,根据tan∠BAC==,求出OB=1,那么BD=2.【解答】解∵四边形ABCD是菱形,AC=6,∴AC⊥BD,OA=AC=3,BD=2OB.在Rt△OAB中,∵∠AOD=90°,∴tan∠BAC==,∴OB=1,∴BD=2.故答案为2. 7.(xx•宁波)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,M是AB的中点,连结MD,ME.若∠EMD=90°,则cosB的值为 .【分析】延长DM交CB的延长线于点H.首先证明DE=EH,设BE=x,利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题.【解答】解延长DM交CB的延长线于点H.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=AD=2,AD∥CH,∴∠ADM=∠H,∵AM=BM,∠AMD=∠HMB,∴△ADM≌△BHM,∴AD=HB=2,∵EM⊥DH,∴EH=ED,设BE=x,∵AE⊥BC,∴AE⊥AD,∴∠AEB=∠EAD=90°∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2,∴22﹣x2=(2+x)2﹣22,∴x=﹣1或﹣﹣1(舍弃),∴cosB==,故答案为. 8.(xx•广州)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(﹣2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是 (﹣5,4) .【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长,进而求出C点坐标.【解答】解∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(﹣2,0),点D在y轴上,∴AB=5,∴AD=5,∴由勾股定理知OD===4,∴点C的坐标是(﹣5,4).故答案为(﹣5,4). 9.(xx•随州)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形OABC的边长为2,点A在第一象限,点C在x轴正半轴上,∠AOC=60°,若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°,得到四边形OA′B′C′,则点B的对应点B′的坐标为 (,﹣) .【分析】作B′H⊥x轴于H点,连结OB,OB′,根据菱形的性质得到∠AOB=30°,再根据旋转的性质得∠BOB′=75°,OB′=OB=2,则∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°,所以△OBH为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形性质可计算得OH=B′H=,然后根据第四象限内点的坐标特征写出B′点的坐标.【解答】解作B′H⊥x轴于H点,连结OB,OB′,如图,∵四边形OABC为菱形,∴∠AOC=180°﹣∠C=60°,OB平分∠AOC,∴∠AOB=30°,∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至第四象限OA′B′C′的位置,∴∠BOB′=75°,OB′=OB=2,∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°,∴△OBH为等腰直角三角形,∴OH=B′H=OB′=,∴点B′的坐标为(,﹣).故答案为(,﹣). 10.(xx•黑龙江)如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件 AB=BC或AC⊥BD 使平行四边形ABCD是菱形.【分析】根据菱形的判定方法即可判断.【解答】解当AB=BC或AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形.故答案为AB=BC或AC⊥BD. 三.解答题(共10小题)11.(xx•柳州)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且AB=2.
(1)求菱形ABCD的周长;
(2)若AC=2,求BD的长.【分析】
(1)由菱形的四边相等即可求出其周长;
(2)利用勾股定理可求出BO的长,进而解答即可.【解答】解
(1)∵四边形ABCD是菱形,AB=2,∴菱形ABCD的周长=2×4=8;
(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=2,AB=2∴AC⊥BD,AO=1,∴BO=,∴BD=2 12.(xx•遂宁)如图,在▱ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,AC⊥EF.求证四边形AECF是菱形.【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明;【解答】证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∵DE=BF,∴AE=CF,∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形,∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形. 13.(xx•郴州)如图,在▱ABCD中,作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于E,F,连接BE,DF.求证四边形BFDE是菱形.【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF,得到OE=OF,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形,进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形.【解答】证明∵在▱ABCD中,O为对角线BD的中点,∴BO=DO,∠EDB=∠FBO,在△EOD和△FOB中,,∴△DOE≌△BOF(ASA);∴OE=OF,又∵OB=OD,∴四边形EBFD是平行四边形,∵EF⊥BD,∴四边形BFDE为菱形. 14.(xx•南京)如图,在四边形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.求证
(1)∠BOD=∠C;
(2)四边形OBCD是菱形.【分析】
(1)延长AO到E,利用等边对等角和角之间关系解答即可;
(2)连接OC,根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可.【解答】证明
(1)延长OA到E,∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO,又∠BOE=∠ABO+∠BAO,∴∠BOE=2∠BAO,同理∠DOE=2∠DAO,∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2(∠BAO+∠DAO)即∠BOD=2∠BAD,又∠C=2∠BAD,∴∠BOD=∠C;
(2)连接OC,∵OB=OD,CB=CD,OC=OC,∴△OBC≌△ODC,∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO,∵∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO,∴∠BOC=∠BOD,∠BCO=∠BCD,又∠BOD=∠BCD,∴∠BOC=∠BCO,∴BO=BC,又OB=OD,BC=CD,∴OB=BC=CD=DO,∴四边形OBCD是菱形. 15.(xx•呼和浩特)如图,已知A、F、C、D四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.
(1)求证△ABC≌△DEF;
(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.【分析】
(1)根据SAS即可证明.
(2)解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题;【解答】
(1)证明∵AB∥DE,∴∠A=∠D,∵AF=CD,∴AF+FC=CD+FC,即AC=DF,∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF.
(2)如图,连接AB交AD于O.在Rt△EFD中,∵∠DEF=90°,EF=3,DE=4,∴DF==5,∵四边形EFBC是菱形,∴BE⊥CF,∴EO==,∴OF=OC==,∴CF=,∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=. 16.(xx•内江)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,F分别是AB,BC上的点,AE=CF,并且∠AED=∠CFD.求证
(1)△AED≌△CFD;
(2)四边形ABCD是菱形.【分析】
(1)由全等三角形的判定定理ASA证得结论;
(2)由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论.【解答】
(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.在△AED与△CFD中,∴△AED≌△CFD(ASA);
(2)由
(1)知,△AED≌△CFD,则AD=CD.又∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形. 17.(xx•泰安)如图,△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,F是AD的中点,FG⊥BC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分∠CAB,连接GE,CD.
(1)求证△ECG≌△GHD;
(2)小亮同学经过探究发现AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.
(3)若∠B=30°,判定四边形AEGF是否为菱形,并说明理由.【分析】
(1)依据条件得出∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED,依据F是AD的中点,FG∥AE,即可得到FG是线段ED的垂直平分线,进而得到GE=GD,∠CGE=∠GDE,利用AAS即可判定△ECG≌△GHD;
(2)过点G作GP⊥AB于P,判定△CAG≌△PAG,可得AC=AP,由
(1)可得EG=DG,即可得到Rt△ECG≌Rt△GPD,依据EC=PD,即可得出AD=AP+PD=AC+EC;
(3)依据∠B=30°,可得∠ADE=30°,进而得到AE=AD,故AE=AF=FG,再根据四边形AECF是平行四边形,即可得到四边形AEGF是菱形.【解答】解
(1)∵AF=FG,∴∠FAG=∠FGA,∵AG平分∠CAB,∴∠CAG=∠FGA,∴∠CAG=∠FGA,∴AC∥FG,∵DE⊥AC,∴FG⊥DE,∵FG⊥BC,∴DE∥BC,∴AC⊥BC,∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED,∵F是AD的中点,FG∥AE,∴H是ED的中点,∴FG是线段ED的垂直平分线,∴GE=GD,∠GDE=∠GED,∴∠CGE=∠GDE,∴△ECG≌△GHD;
(2)证明过点G作GP⊥AB于P,∴GC=GP,而AG=AG,∴△CAG≌△PAG,∴AC=AP,由
(1)可得EG=DG,∴Rt△ECG≌Rt△GPD,∴EC=PD,∴AD=AP+PD=AC+EC;
(3)四边形AEGF是菱形,证明∵∠B=30°,∴∠ADE=30°,∴AE=AD,∴AE=AF=FG,由
(1)得AE∥FG,∴四边形AECF是平行四边形,∴四边形AEGF是菱形. 18.(xx•广西)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.
(1)求证▱ABCD是菱形;
(2)若AB=5,AC=6,求▱ABCD的面积.【分析】
(1)利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题;
(2)连接BD交AC于O,利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题;【解答】
(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D,∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°,∵BE=DF,∴△AEB≌△AFD∴AB=AD,∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)连接BD交AC于O.∵四边形ABCD是菱形,AC=6,∴AC⊥BD,AO=OC=AC=×6=3,∵AB=5,AO=3,∴BO===4,∴BD=2BO=8,∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24. 19.(xx•扬州)如图,在平行四边形ABCD中,DB=DA,点F是AB的中点,连接DF并延长,交CB的延长线于点E,连接AE.
(1)求证四边形AEBD是菱形;
(2)若DC=,tan∠DCB=3,求菱形AEBD的面积.【分析】
(1)由△AFD≌△BFE,推出AD=BE,可知四边形AEBD是平行四边形,再根据BD=AD可得结论;
(2)解直角三角形求出EF的长即可解决问题;【解答】
(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CE,∴∠DAF=∠EBF,∵∠AFD=∠EFB,AF=FB,∴△AFD≌△BFE,∴AD=EB,∵AD∥EB,∴四边形AEBD是平行四边形,∵BD=AD,∴四边形AEBD是菱形.
(2)解∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=,AB∥CD,∴∠ABE=∠DCB,∴tan∠ABE=tan∠DCB=3,∵四边形AEBD是菱形,∴AB⊥DE,AF=FB,EF=DF,∴tan∠ABE==3,∵BF=,∴EF=,∴DE=3,∴S菱形AEBD=•AB•DE=•3=15. 20.(xx•乌鲁木齐)如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD∥BC,AE∥DC,EF⊥CD于点F.
(1)求证四边形AECD是菱形;
(2)若AB=6,BC=10,求EF的长.【分析】
(1)根据平行四边形和菱形的判定证明即可;
(2)根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可.【解答】证明
(1)∵AD∥BC,AE∥DC,∴四边形AECD是平行四边形,∵∠BAC=90°,E是BC的中点,∴AE=CE=BC,∴四边形AECD是菱形;
(2)过A作AH⊥BC于点H,∵∠BAC=90°,AB=6,BC=10,∴AC=,∵,∴AH=,∵点E是BC的中点,BC=10,四边形AECD是菱形,∴CD=CE=5,∵S▱AECD=CE•AH=CD•EF,∴EF=AH=. 。