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xx中考数学试题分类汇编考点35图形的平移和旋转一.选择题(共4小题)1.(xx•海南)如图,在平面直角坐标系中,△ABC位于第一象限,点A的坐标是(4,3),把△ABC向左平移6个单位长度,得到△A1B1C1,则点B1的坐标是( )A.(﹣2,3)B.(3,﹣1)C.(﹣3,1)D.(﹣5,2)【分析】根据点的平移的规律向左平移a个单位,坐标P(x,y)⇒P(x﹣a,y),据此求解可得.【解答】解∵点B的坐标为(3,1),∴向左平移6个单位后,点B1的坐标(﹣3,1),故选C. 2.(xx•黄石)如图,将“笑脸”图标向右平移4个单位,再向下平移2个单位,点P的对应点P的坐标是( )A.(﹣1,6)B.(﹣9,6)C.(﹣1,2)D.(﹣9,2)【分析】根据平移规律横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减即可解决问题;【解答】解由题意P(﹣5,4),向右平移4个单位,再向下平移2个单位,点P的对应点P的坐标是(﹣1,2),故选C. 3.(xx•宜宾)如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△ABC的位置,已知△ABC的面积为9,阴影部分三角形的面积为4.若AA=1,则AD等于( )A.2B.3C.D.【分析】由S△ABC=
9、S△A′EF=4且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=2,S△ABD=S△ABC=,根据△DA′E∽△DAB知()2=,据此求解可得.【解答】解如图,∵S△ABC=
9、S△A′EF=4,且AD为BC边的中线,∴S△A′DE=S△A′EF=2,S△ABD=S△ABC=,∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△ABC,∴A′E∥AB,∴△DA′E∽△DAB,则()2=,即()2=,解得A′D=2或A′D=﹣(舍),故选A. 4.(xx•温州)如图,已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合,另两个顶点A,B的坐标分别为(﹣1,0),(0,).现将该三角板向右平移使点A与点O重合,得到△OCB′,则点B的对应点B′的坐标是( )A.(1,0)B.(,)C.(1,)D.(﹣1,)【分析】根据平移的性质得出平移后坐标的特点,进而解答即可.【解答】解因为点A与点O对应,点A(﹣1,0),点O(0,0),所以图形向右平移1个单位长度,所以点B的对应点B的坐标为(0+1,),即(1,),故选C. 二.填空题(共4小题)5.(xx•长沙)在平面直角坐标系中,将点A′(﹣2,3)向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,那么平移后对应的点A′的坐标是 (1,1) .【分析】直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案.【解答】解∵将点A′(﹣2,3)向右平移3个单位长度,∴得到(1,3),∵再向下平移2个单位长度,∴平移后对应的点A′的坐标是(1,1).故答案为(1,1). 6.(xx•宿迁)在平面直角坐标系中,将点(3,﹣2)先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,则所得点的坐标是 (5,1) .【分析】直接利用平移的性质得出平移后点的坐标即可.【解答】解∵将点(3,﹣2)先向右平移2个单位长度,∴得到(5,﹣2),∵再向上平移3个单位长度,∴所得点的坐标是(5,1).故答案为(5,1). 7.(xx•曲靖)如图图象
①②③均是以P0为圆心,1个单位长度为半径的扇形,将图形
①②③分别沿东北,正南,西北方向同时平移,每次移动一个单位长度,第一次移动后图形
①②③的圆心依次为P1P2P3,第二次移动后图形
①②③的圆心依次为P4P5P6…,依次规律,P0Pxx= 673 个单位长度.【分析】根据P0P1=1,P0P2=1,P0P3=1;P0P4=2,P0P5=2,P0P6=2;P0P7=3,P0P8=3,P0P9=3;可知每移动一次,圆心离中心的距离增加1个单位,依据xx=3×672+2,即可得到点Pxx在正南方向上,P0Pxx=672+1=673.【解答】解由图可得,P0P1=1,P0P2=1,P0P3=1;P0P4=2,P0P5=2,P0P6=2;P0P7=3,P0P8=3,P0P9=3;∵xx=3×672+2,∴点Pxx在正南方向上,∴P0Pxx=672+1=673,故答案为673. 8.(xx•株洲)如图,O为坐标原点,△OAB是等腰直角三角形,∠OAB=90°,点B的坐标为(0,2),将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′,此时点B′的坐标为(2,2),则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为 4 .【分析】利用平移的性质得出AA′的长,根据等腰直角三角形的性质得到AA′对应的高,再结合平行四边形面积公式求出即可.【解答】解∵点B的坐标为(0,2),将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′,此时点B′的坐标为(2,2),∴AA′=BB′=2,∵△OAB是等腰直角三角形,∴A(,),∴AA′对应的高,∴线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为2×=4.故答案为4. 三.解答题(共14小题)9.(xx•枣庄)如图,在4×4的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)在图1中,画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形;
(2)在图2中,画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形;
(3)在图3中,画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形.【分析】
(1)根据中心对称的性质即可作出图形;
(2)根据轴对称的性质即可作出图形;
(3)根据旋转的性质即可求出图形.【解答】解
(1)如图所示,△DCE为所求作
(2)如图所示,△ACD为所求作
(3)如图所示△ECD为所求作 10.(xx•吉林)如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格,每个小正方形的顶点叫做格点,点A,B,C,D均在格点上,在网格中将点D按下列步骤移动第一步点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1;第二步点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2;第三步点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D.
(1)请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径;
(2)所画图形是 轴对称 对称图形;
(3)求所画图形的周长(结果保留π).【分析】
(1)利用旋转变换的性质画出图象即可;
(2)根据轴对称图形的定义即可判断;
(3)利用弧长公式计算即可;【解答】解
(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示
(2)观察图象可知图象是轴对称图形,故答案为轴对称.
(3)周长=4×=8π. 11.(xx•南充)如图,矩形ABCD中,AC=2AB,将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′,使点B的对应点B落在AC上,BC交AD于点E,在BC′上取点F,使BF=AB.
(1)求证AE=C′E.
(2)求∠FBB的度数.
(3)已知AB=2,求BF的长.【分析】
(1)在直角三角形ABC中,由AC=2AB,得到∠ACB=30°,再由折叠的性质得到一对角相等,利用等角对等边即可得证;
(2)由
(1)得到△ABB′为等边三角形,利用矩形的性质及等边三角形的内角为60°,即可求出所求角度数;
(3)由AB=2,得到B′B=B′F=2,∠B′BF=15°,过B作BH⊥BF,在直角三角形BB′H中,利用锐角三角函数定义求出BH的长,由BF=2BH即可求出BF的长.【解答】
(1)证明∵在Rt△ABC中,AC=2AB,∴∠ACB=∠AC′B′=30°,∠BAC=60°,由旋转可得AB′=AB,∠B′AC=∠BAC=60°,∴∠EAC′=∠AC′B′=30°,∴AE=C′E;
(2)解由
(1)得到△ABB′为等边三角形,∴∠AB′B=60°,∴∠FBB′=15°;
(3)解由AB=2,得到B′B=B′F=2,∠B′BF=15°,过B作BH⊥BF,在Rt△BB′H中,cos15°=,即BH=2×=,则BF=2BH=+. 12.(xx•徐州)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0)
①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2;
③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗?若成轴对称图形,画出所有的对称轴;
④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗?若成中心对称图形,写出所有的对称中心的坐标.【分析】
(1)将三角形的各顶点,向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点,顺次连接;
(2)将三角形的各顶点,绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点.顺次连接各对应点得△A2B2C2;
(3)从图中可发现成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,做它的垂直平分线;
(4)成中心对称图形,画出两条对应点的连线,交点就是对称中心.【解答】解如下图所示
(3)成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,作它的垂直平分线,或连接A1C1,A2C2的中点的连线为对称轴.
(4)成中心对称,对称中心为线段BB2的中点P,坐标是(,). 13.(xx•温州)如图,P,Q是方格纸中的两格点,请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形.
(1)在图1中画出一个面积最小的▱PAQB.
(2)在图2中画出一个四边形PCQD,使其是轴对称图形而不是中心对称图形,且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到.注图1,图2在答题纸上.【分析】
(1)画出面积是4的格点平行四边形即为所求;
(2)画出以PQ为对角线的等腰梯形即为所求.【解答】解
(1)如图
①所示
(2)如图
②所示 14.(xx•临沂)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩形AEFG.
(1)如图,当点E在BD上时.求证FD=CD;
(2)当α为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由.【分析】
(1)先运用SAS判定△AED≌△FDE,可得DF=AE,再根据AE=AB=CD,即可得出CD=DF;
(2)当GB=GC时,点G在BC的垂直平分线上,分两种情况讨论,依据∠DAG=60°,即可得到旋转角α的度数.【解答】解
(1)由旋转可得,AE=AB,∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°,EF=BC=AD,∴∠AEB=∠ABE,又∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF,∴∠EDA=∠DEF,又∵DE=ED,∴△AED≌△FDE(SAS),∴DF=AE,又∵AE=AB=CD,∴CD=DF;
(2)如图,当GB=GC时,点G在BC的垂直平分线上,分两种情况讨论
①当点G在AD右侧时,取BC的中点H,连接GH交AD于M,∵GC=GB,∴GH⊥BC,∴四边形ABHM是矩形,∴AM=BH=AD=AG,∴GM垂直平分AD,∴GD=GA=DA,∴△ADG是等边三角形,∴∠DAG=60°,∴旋转角α=60°;
②当点G在AD左侧时,同理可得△ADG是等边三角形,∴∠DAG=60°,∴旋转角α=360°﹣60°=300°. 15.(xx•宁波)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连结DE交BC于点F,连接BE.
(1)求证△ACD≌△BCE;
(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.【分析】
(1)由题意可知CD=CE,∠DCE=90°,由于∠ACB=90°,所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB,∠BCE=∠DCE﹣∠DCB,所以∠ACD=∠BCE,从而可证明△ACD≌△BCE(SAS)
(2)由△ACD≌△BCE(SAS)可知∠A=∠CBE=45°,BE=BF,从而可求出∠BEF的度数.【解答】解
(1)由题意可知CD=CE,∠DCE=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB,∠BCE=∠DCE﹣∠DCB,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD与△BCE中,∴△ACD≌△BCE(SAS)
(2)∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=45°,由
(1)可知∠A=∠CBE=45°,∵AD=BF,∴BE=BF,∴∠BEF=
67.5° 16.(xx•黑龙江)如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系内,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4),B(1,1),C(3,1).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2;
(3)在
(2)的条件下,求线段BC扫过的面积(结果保留π).【分析】
(1)利用轴对称的性质画出图形即可;
(2)利用旋转变换的性质画出图形即可;
(3)BC扫过的面积=﹣,由此计算即可;【解答】解
(1)△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示;
(2)△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2如图所示;
(3)BC扫过的面积=﹣=﹣=2π. 17.(xx•广西)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;
(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)【分析】
(1)利用点平移的坐标特征写出A
1、B
1、C1的坐标,然后描点即可得到△A1B1C1为所作;
(2)利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A
2、B
2、C2,从而得到△A2B2C2,
(3)根据勾股定理逆定理解答即可.【解答】解
(1)如图所示,△A1B1C1即为所求
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求
(3)三角形的形状为等腰直角三角形,OB=OA1=,A1B=,即,所以三角形的形状为等腰直角三角形. 18.(xx•眉山)在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系,△ABC的顶点都在格点上,请解答下列问题
(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1,并写出点C1的坐标;
(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点C2的坐标;
(3)已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为(﹣4,﹣2),请直接写出直线l的函数解析式.【分析】
(1)利用网格特点和平移的性质写出点A、B、C的对应点A
1、B
1、C1的坐标,然后描点得到△A1B1C1;
(2)根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点A
2、B
2、C2的坐标,然后描点即可;
(3)根据对称的特点解答即可.【解答】解
(1)如图,△A1B1C1为所作,C1(﹣1,2);
(2)如图,△A2B2C2为所作,C2(﹣3,﹣2);
(3)因为A的坐标为(2,4),A3的坐标为(﹣4,﹣2),所以直线l的函数解析式为y=﹣x, 19.(xx•自贡)如图,已知∠AOB=60°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个120°角的顶点与点C重合,它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E.
(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),请猜想OE+OD与OC的数量关系,并说明理由;
(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时,到达图2的位置,
(1)中的结论是否成立?并说明理由;
(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时,上述结论是否成立?请在图3中画出图形,若成立,请给于证明;若不成立,线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.【分析】
(1)先判断出∠OCE=60°,再利用特殊角的三角函数得出OD=OC,同OE=OC,即可得出结论;
(2)同
(1)的方法得OF+OG=OC,再判断出△CFD≌△CGE,得出DF=EG,最后等量代换即可得出结论;
(3)同
(2)的方法即可得出结论.【解答】解
(1)∵OM是∠AOB的角平分线,∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°,∵CD⊥OA,∴∠ODC=90°,∴∠OCD=60°,∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°,在Rt△OCD中,OD=OC•cos30°=OC,同理OE=OC,∴OD+OE=OC;
(2)
(1)中结论仍然成立,理由过点C作CF⊥OA于F,CG⊥OB于G,∴∠OFC=∠OGC=90°,∵∠AOB=60°,∴∠FCG=120°,同
(1)的方法得,OF=OC,OG=OC,∴OF+OG=OC,∵CF⊥OA,CG⊥OB,且点C是∠AOB的平分线OM上一点,∴CF=CG,∵∠DCE=120°,∠FCG=120°,∴∠DCF=∠ECG,∴△CFD≌△CGE,∴DF=EG,∴OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE﹣EG,∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE,∴OD+OE=OC;
(3)
(1)中结论不成立,结论为OE﹣OD=OC,理由过点C作CF⊥OA于F,CG⊥OB于G,∴∠OFC=∠OGC=90°,∵∠AOB=60°,∴∠FCG=120°,同
(1)的方法得,OF=OC,OG=OC,∴OF+OG=OC,∵CF⊥OA,CG⊥OB,且点C是∠AOB的平分线OM上一点,∴CF=CG,∵∠DCE=120°,∠FCG=120°,∴∠DCF=∠ECG,∴△CFD≌△CGE,∴DF=EG,∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD,OG=OE﹣EG,∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD,∴OE﹣OD=OC. 20.(xx•岳阳)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,CD为∠ACB的平分线,将∠ACB沿CD所在的直线对折,使点B落在点B′处,连结AB,BB,延长CD交BB于点E,设∠ABC=2α(0°<α<45°).
(1)如图1,若AB=AC,求证CD=2BE;
(2)如图2,若AB≠AC,试求CD与BE的数量关系(用含α的式子表示);
(3)如图3,将
(2)中的线段BC绕点C逆时针旋转角(α+45°),得到线段FC,连结EF交BC于点O,设△COE的面积为S1,△COF的面积为S2,求(用含α的式子表示).【分析】
(1)由翻折可知BE=EB′,再利用全等三角形的性质证明CD=BB′即可;
(2)如图2中,结论CD=2•BE•tan2α.只要证明△BAB′∽△CAD,可得==,推出=,可得CD=2•BE•tan2α;
(3)首先证明∠ECF=90°,由∠BEC+∠ECF=180°,推出BB′∥CF,推出===sin(45°﹣α),由此即可解决问题;【解答】解
(1)如图1中,∵B、B′关于EC对称,∴BB′⊥EC,BE=EB′,∴∠DEB=∠DAC=90°,∵∠EDB=∠ADC,∴∠DBE=∠ACD,∵AB=AC,∠BAB′=∠DAC=90°,∴△BAB′≌CAD,∴CD=BB′=2BE.
(2)如图2中,结论CD=2•BE•tan2α.理由由
(1)可知∠ABB′=∠ACD,∠BAB′=∠CAD=90°,∴△BAB′∽△CAD,∴==,∴=,∴CD=2•BE•tan2α.
(3)如图3中,在Rt△ABC中,∠ACB=90°﹣2α,∵EC平分∠ACB,∴∠ECB=(90°﹣2α)=45°﹣α,∵∠BCF=45°+α,∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°,∴∠BEC+∠ECF=180°,∴BB′∥CF,∴===sin(45°﹣α),∵=,∴=sin(45°﹣α). 21.(xx•广东)已知Rt△OAB,∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜边OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°,如题图1,连接BC.
(1)填空∠OBC= 60 °;
(2)如图1,连接AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度;
(3)如图2,点M,N同时从点O出发,在△OCB边上运动,M沿O→C→B路径匀速运动,N沿O→B→C路径匀速运动,当两点相遇时运动停止,已知点M的运动速度为
1.5单位/秒,点N的运动速度为1单位/秒,设运动时间为x秒,△OMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值?最大值为多少?【分析】
(1)只要证明△OBC是等边三角形即可;
(2)求出△AOC的面积,利用三角形的面积公式计算即可;
(3)分三种情形讨论求解即可解决问题
①当0<x≤时,M在OC上运动,N在OB上运动,此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E.
②当<x≤4时,M在BC上运动,N在OB上运动.
③当4<x≤
4.8时,M、N都在BC上运动,作OG⊥BC于G.【解答】解
(1)由旋转性质可知OB=OC,∠BOC=60°,∴△OBC是等边三角形,∴∠OBC=60°.故答案为60.
(2)如图1中,∵OB=4,∠ABO=30°,∴OA=OB=2,AB=OA=2,∴S△AOC=•OA•AB=×2×2=2,∵△BOC是等边三角形,∴∠OBC=60°,∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°,∴AC==2,∴OP===.
(3)
①当0<x≤时,M在OC上运动,N在OB上运动,此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E.则NE=ON•sin60°=x,∴S△OMN=•OM•NE=×
1.5x×x,∴y=x2.∴x=时,y有最大值,最大值=.
②当<x≤4时,M在BC上运动,N在OB上运动.作MH⊥OB于H.则BM=8﹣
1.5x,MH=BM•sin60°=(8﹣
1.5x),∴y=×ON×MH=﹣x2+2x.当x=时,y取最大值,y<,
③当4<x≤
4.8时,M、N都在BC上运动,作OG⊥BC于G.MN=12﹣
2.5x,OG=AB=2,∴y=•MN•OG=12﹣x,当x=4时,y有最大值,最大值=2,综上所述,y有最大值,最大值为. 22.(xx•德州)再读教材宽与长的比是(约为
0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计,下面,我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示MN=2)第一步,在矩形纸片一端,利用图
①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步,如图
②,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图
①中所示的AD处.第四步,展平纸片,按照所得的点D折出DE,使DE⊥ND,则图
④中就会出现黄金矩形.问题解决
(1)图
③中AB= (保留根号);
(2)如图
③,判断四边形BADQ的形状,并说明理由;
(3)请写出图
④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.实际操作
(4)结合图
④,请在矩形BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.【分析】
(1)理由勾股定理计算即可;
(2)根据菱形的判定方法即可判断;
(3)根据黄金矩形的定义即可判断;
(4)如图
④﹣1中,在矩形BCDE上添加线段GH,使得四边形GCDH为正方形,此时四边形BGHE为所求是黄金矩形;【解答】解
(1)如图3中,在Rt△ABC中,AB===,故答案为.
(2)结论四边形BADQ是菱形.理由如图
③中,∵四边形ACBF是矩形,∴BQ∥AD,∵AB∥DQ,∴四边形ABQD是平行四边形,由翻折可知AB=AD,∴四边形ABQD是菱形.
(3)如图
④中,黄金矩形有矩形BCDE,矩形MNDE.∵AD=.AN=AC=1,CD=AD﹣AC=﹣1,∵BC=2,∴=,∴矩形BCDE是黄金矩形.∵==,∴矩形MNDE是黄金矩形.
(4)如图
④﹣1中,在矩形BCDE上添加线段GH,使得四边形GCDH为正方形,此时四边形BGHE为所求是黄金矩形.长GH=﹣1,宽HE=3﹣. 。