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3.6 圆内接四边形知识点 圆内接四边形如果一个四边形的________在同一个圆上,那么这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形的对角________.1.如图3-6-1,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠A=70°,则∠C的度数是 图3-6-1A.100°B.110°C.120°D.130°2.如图3-6-2,在圆内接四边形ABCD中,若∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶6,则∠D等于 图3-6-2A.
67.5°B.135°C.
112.5°D.45°类型一 运用圆内接四边形的性质进行计算例1[教材补充例题]如图3-6-3,四边形ABCD内接于⊙O,点E在弦DC的延长线上,若∠BOD=120°,求∠BCE的度数.图3-6-3【归纳总结】圆内接四边形性质的巧用1对角互补可借助圆周角定理及其推论实现角的转化;2任意外角与其相邻的内角的对角相等.类型二 运用圆内接四边形的性质定理证明例2[教材补充例题]如图3-6-4,已知四边形ABCD内接于⊙O,AB=BD,BM⊥AC于点M,求证AM=DC+CM.图3-6-4若圆的内接四边形ABCD的对角相等,则四边形ABCD是什么四边形?详解详析【学知识】知识点 各个顶点 互补1.[解析]B ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠C+∠A=180°,∴∠C=180°-70°=110°.2.[解析]C ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶6,设∠A=2a,∠B=3a,∠C=6a,则2a+6a=180°,∴a=
22.5°,∴∠B=3a=
67.5°,∴∠D=180°-∠B=
112.5°.故选C.【筑方法】例1 [解析]先根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半,求得∠A=60°,再根据“圆内接四边形的对角互补”求解.解∵∠BOD=120°,∴∠A=∠BOD=60°.又∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∴∠A+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°-∠A=180°-60°=120°.∵∠BCD+∠BCE=180°,∴∠BCE=180°-∠BCD=60°.例2 [解析]首先在MA上截取EM=CM,连结BE,由BM⊥AC,根据线段垂直平分线的性质,即可得到BE=BC,得到∠BEC=∠BCE;再由AB=BD,得到∠ADB=∠BAD,而∠ADB=∠BCE,则∠BEC=∠BAD,根据圆内接四边形的性质得∠BCD+∠BAD=180°,易得∠BEA=∠BCD,从而可证出△ABE≌△DBC,得到AE=DC,即有AM=DC+CM.证明如图,在MA上截取EM=CM,连结BE,∵BM⊥AC,∴BE=BC,∴∠BEC=∠BCE.∵AB=BD,∴=,∴∠ADB=∠BAD.而∠ADB=∠BCE,∴∠BEC=∠BAD.又∵∠BCD+∠BAD=180°,∠BEA+∠BEC=180°,∴∠BEA=∠BCD.∵∠BAE=∠BDC,∴△ABE≌△DBC,∴AE=DC,∴AM=AE+EM=DC+CM.【勤反思】[小结]互补[反思]矩形或正方形.。