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公式法解一元二次方程
1.下列关于x的一元二次方程有实数根的是()A.x2+1=0B.x2+x+1=0C.x2-x+1=0D.x2-x-1=
02.一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况是()A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根3.方程x2-2x-2=0的两个根为.A.x1=1,x2=-2B.x1=-1,x2=2C.D.4.若代数式x2-6x+5的值等于12,则x的值应为.A.1或5B.7或-1C.-1或-5D.-7或15.关于x的一元二次方程的两个根应为.A.B.,C.D.6.方程ax2+bx+c=0a≠0根的判别式是.A.B.C.b2-4acD.a、b、c7.若关于x的一元二次方程m-1x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是.A.B.且m≠1C.且m≠1D.
8.若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根,则m的取值范围是______.
9.已知关于x的方程x2-a+2x+a-2b=0根的判别式等于0,且是方程的根,则a+b的值为_____________.解答题用公式法解关于x的方程10.x2+mx+2=mx2+3xm≠1.11.x2-4ax+3a2+2a-1=0.
12.用公式法解下列关于x的一元二次方程
(1)3x2+2x=2;
(2)xx+1+7x-1=2x+2;
(3)m2-n2x2-4mnx=m2-n2m2-n2≠
0.
13.是否存在某个实数m,使得方程x2+mx+2=0和x2+2x+m=0有且只有一个公共的实根?如果存在,求出这个实数m及这两个方程的公共实根;如果不存在,请说明理由.
14.某数学兴趣小组对关于x的方程提出了下列问题.
(1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m的值并解此方程.
(2)若使方程为一元一次方程,m是否存在?若存在,求出m的值并解此方程.你能解决这两个问题吗?参考答案
1.D解析选项A中a=1,b=0,c=1,∵∆=b2-4ac=-40,∴方程没有实数根,本选项不合题意;选项B中a=1,b=1,c=1,∵∆=b2-4ac=1-4=-30,∴方程没有实数根,本选项不合题意;选项C中a=1,b=-1,c=1,∴∆=b2-4ac=1-4=-30,∴方程没有实数根,本选项不合题意;选项D中a=1,b=-1,c=-1,∵∆=b2-4ac=1+4=50,∴方程有两个不相等的实数根,本选项符合题意.
2.B解析—元二次方程x2+2x+1=0中,a=1,b=2,c=1,∴b2-4ac=22-4×1×1=0,∴方程有两个相等的实数根.3.C.4.B5.B.6.C.7.B.
8.m≤1解析因为一元二次方程有实数根,所以b2-4ac≥0,即22-4×1×m≥0,解得m≤
1.
9.解析由方程根的判别式等于0得∆=[-a+2]2-4×a-2b=0,即a2+8b+4=0,将代入原方程,得2a-8b-3=
0.根据题意得
①+
②,得a2+2a+1=0,解得a=-
1.把a=-1代入2a-8b-3=0,得.则.10.,x2=
1.11.x1=a+1,x2=3a-
1.
12.解
(1)3x2+2x=2,原方程可化为3x2+2x-2=
0.∵a=3,b=2,c=-2,∴b2-4ac=4-4×3×-2=28,∴,∴原方程的解是,.
(2)原方程可化为x2+6x-11=0,∵a=1,b=6,c=-11,∴b2-4ac=36-4×1×-11=
80.∴.∴原方程的解是,.
(3)移项,得m2-n2x2-4mnx-m2+n2=
0.∵a=m2-n2,b=-4mn,c=-m2+n2,∴b2-4ac=-4mn2-4m2-n2-m2+n2=4m4+8m2n2+4n4=2m2+2n
22.∴∴原方程的解是,.点拨任何一个一元二次方程都可以用公式法来解,但需先将其化成一般形式,这样方程的二次项系数、一次项系数、常数项就明确了.
13.思路建立要判断是否存在某个实数m,使得方程x2+mx+2=0和x2+2x+m=0有且只有一个公共的实根,只需假设两方程有公共根为a,则有a2+ma+2=0和a2+2a+m=0,然后将两方程相减,通过消去二次项,求出a和m的值,即可解答.解假设存在符合条件的实数m,且两个方程的公共实根为a,则
①-
②,得m-2a-1=
0.∴m=2或a=
1.
(1)当m=2时,易知两个方程为同一方程,且没有实数根,故m=2舍去;
(2)当a=1时,代入
①,可得m=-3,∴两个方程分别为x2-3x+2=0,x2+2x-3=0,∴这两个方程的公共实根为
1.点拨类似的题目,一般是先将公共根代入两方程,然后将两式相减求出公共根,再求出其中的字母系数.
14.
(1)要使它为一元二次方程,m必须同时满足m2+1=2和m+1≠
0.
(2)要使它为一元一次方程,m则要满足
①或
②或
③解
(1)存在.根据题意,得m2+1=2,∴m2=1,m=±
1.当m=1时,m+1=1+1=2≠0;当m=-1时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去).∴当m=1时,方程为2x2-1-x=
0.a=2,b=-1,c=-1,b2-4ac=-12-4×2×-1=1+8=9,∴,∴x1=1,.因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根分别是x1=1,.
(2)存在.根据题意,得
①当m2+1=1时,m2=0,m=
0.∵当m=0时,m+1+m-2=2m-1=-1≠0,∴m=0满足题意.
②当m2+1=0时,m不存在.
③当m+1=0,即m=-1时,m-2=-3≠0,∴m=-1也满足题意.当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0,解得x=-1;当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0,解得.因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1;当m=-1时,其根为.。