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22.3 相似三角形的性质 知识点1 相似三角形对应高、中线、角平分线的比1.[xx·兰州]已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为,则△ABC与△DEF对应中线的比为 A.B.C.D.2.已知△ABC∽△A′B′C′,AD和A′D′是它们的对应角平分线,且AD=8cm,A′D′=3cm,则△A′B′C′与△ABC的相似比为________.3.如图22-3-1示意图,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,已知AB∥CD,AB=2m,CD=5m,若点P到CD的距离为3m,则点P到AB的距离是________.图22-3-1知识点2 相似三角形周长的比4.已知△ABC∽△DEF,相似比是,则===________,=________.如果△ABC的周长是60cm,那么△DEF的周长是________.5.如图22-3-2,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,DE∥BC,且AD=AB,则△ADE与△ABC的周长的比为________. 图22-3-26.两个相似三角形的对应边之比是8∶3,它们的周长之间的差为45cm,则这两个三角形的周长分别是________和________.7.如图22-3-3,已知在▱ABCD中,AE∶EB=1∶2,求△AEF与△CDF的周长之比.图22-3-3知识点3 相似三角形面积的比8.如图22-3-4,已知△ABC∽△A′B′C′,AD和A′D′分别是它们的高,若=,则=________,=________.图22-3-49.[xx·湘潭]如图22-3-5,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,则△ADE与△ABC的面积比S△ADE∶S△ABC=________.图22-3-510.如图22-3-6,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分Ⅰ和Ⅱ的面积相等,则=________. 图22-3-611.如图22-3-7,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ACD的面积为1,则△BCD的面积为 A.1B.2C.3D.4图22-3-712.在△ABC中,AB=12cm,BC=18cm,CA=24cm.如果另一个与它相似的△A′B′C′的周长为81cm,那么△A′B′C′的三边长分别为________.13.如图22-3-8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AC边上一点,∠CBD=∠A,E,F分别是AB,BD的中点.若AB=5,AC=4,则CF∶CE=________.图22-3-814.[xx·杭州]如图22-3-9,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.1求证△ADE∽△ABC;2若AD=3,AB=5,求的值.图22-3-915.如图22-3-10,在▱ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE=CD.1求证△ABF∽△CEB;2若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积.图22-3-1016.如图22-3-11,已知△ABC和△DEC的面积相等,点E在BC边上,DE∥AB交AC于点F,AB=12,EF=9,则DF的长是多少?图22-3-1117.如图22-3-12,在▱ABCD中,E是CD上的一点,DE∶EC=2∶3,连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F,则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于 A.2∶5∶25B.4∶9∶25C.2∶3∶5D.4∶10∶25图22-3-1218.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为
1.5m,面积为
1.5m2,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面,请甲,乙两名同学设计加工方案.甲的设计方案如图22-3-13
①所示,乙的设计方案如图
②所示.你认为哪名同学设计的方案较好?试说明理由.加工损耗忽略不计,计算结果中可保留分数图22-3-131.A
2.
3.m
4. 40cm
5. .6.72cm 27cm 7.解∵AE∶EB=1∶2,∴AE∶AB=1∶
3.∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,∴AE∶CD=AE∶AB=1∶
3.又∵在▱ABCD中,AB∥CD,∴△AEF∽△CDF,∴△AEF的周长∶△CDF的周长=1∶
3.
8.
9.
10.11.C 12.18cm,27cm,36cm13.3∶414.解1∵AF⊥DE于点F,AG⊥BC于点G,∴∠AFE=90°,∠AGC=90°,∴∠AEF=90°-∠EAF,∠C=90°-∠GAC.又∵∠EAF=∠GAC,∴∠AEF=∠C.又∵∠DAE=∠BAC,∴△ADE∽△ABC.2∵△ADE∽△ABC,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∴=.∵AD=3,AB=5,∴=.15解1证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB∥CD,∴∠ABF=∠CEB,∴△ABF∽△CEB.2∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,ABCD,∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.∵DE=CD,∴=2=,=2=.∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8,∴S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16,∴S▱ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=
24.16.解∵△ABC与△DEC的面积相等,∴△CDF与四边形AFEB的面积相等.∵AB∥DE,∴△CEF∽△CBA.∵EF=9,AB=12,∴EF∶AB=9∶12=3∶4,∴△CEF和△CBA的面积比=9∶
16.设△CEF的面积为9k,则四边形AFEB的面积为7k.∵△CDF与四边形AFEB的面积相等,∴S△CDF=7k.∵△CDF与△CEF可看作同高不同底的三角形,∴面积比等于底之比,∴DF∶EF=7k∶9k=7∶
9.∵EF=9,∴DF=
7.17.D18.解甲同学设计的方案较好.理由由AB=
1.5m,S△ABC=
1.5m2,可得BC=2m.由题图
①,若设甲设计的正方形桌面的边长为xm,由DE∥AB,得Rt△CDE∽Rt△CBA,∴=,即=,解得x=.由题图
②,过点B作Rt△ABC斜边AC上的高BH,BH交DE于点P,交AC于点H.由AB=
1.5m,BC=2m,得AC===
2.5m.由AC·BH=AB·BC可得,BH===
1.2m.设乙设计的桌面边长为ym.∵DE∥AC,∴Rt△BDE∽Rt△BAC,∴=,即=,解得y=.∵=,∴x2y2,∴甲同学设计的方案较好.。