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2.2 圆的对称性[
2.2 第2课时 圆的轴对称性与垂径定理]
一、选择题1．将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，由此说明 A．圆的直径互相平分B．垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧C．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心D．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴2．如图16－K－1所示，⊙O的半径为13，弦AB的长是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长为 A．5B．7C．9D．11图16－K－1图16－K－23．如图16－K－2所示，在⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则⊙O的半径为 A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm4．如图16－K－3所示，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为 A．2B．3C．4D．5图16－K－3图16－K－45．xx·泸州如图16－K－4，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是 A.B．2C．6D．8
二、填空题6．如图16－K－5，在⊙O中，弦AB＝6，圆心O到AB的距离OC＝2，则⊙O的半径为__________．图16－K－57．如图16－K－6，已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm，那么过点P的最短的弦等于________cm.图16－K－6图16－K－78．一条排水管的截面如图16－K－7所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝
1.2m．某天下雨后，水管水面上升了
0.2m，则此时排水管水面宽CD等于________m.图16－K－89．如图16－K－8，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点不与点A，B重合，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．
三、解答题10．如图16－K－9所示，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠COD＝100°，求∠COE和的度数．图16－K－911．如图16－K－10，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为E，AE＝BC＝16，求⊙O的直径.图16－K－1012．某居民区一处圆形污水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图16－K－11所示，污水水面的宽度为60cm，水面至管道顶部的距离为10cm，则维修人员应准备内径为多大的管道？图16－K－1113．如图16－K－12，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3cm，BC＝10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E，F两点，求1圆心O到AQ的距离；2线段EF的长．图16－K－1214．如图16－K－13是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24m，OE⊥CD于点E，已测得＝.1求半径DO；2根据需要，水面要以每小时
0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？图16－K－13探究题如图16－K－14，在半径为5的扇形OAB中，∠AOB＝90°，C是上的一个动点不与点A，B重合，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.1当BC＝6时，求线段OD的长．2在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图16－K－14详解详析【课时作业】[课堂达标]1．D2．[解析]A 已知⊙O的半径为13，弦AB的长是24，ON⊥AB，垂足为N，由垂径定理可得AN＝BN＝12，再由勾股定理可得ON＝
5.3．[解析]C 过点O作AB的垂线段，利用垂径定理可得半径为＝5cm．4．[解析]B 线段OM长的最小值就是点O到弦AB的距离，此时OM⊥AB.在Rt△OAM中，可求得OM的长为
3.5．[解析]B 连接OC，则OC＝4，OE＝
3.在Rt△OCE中，CE＝＝＝.因为AB⊥CD，所以CD＝2CE＝
2.
6.7．[答案]2[解析]连接OP，过点P作弦AB⊥OP，此时AB为过点P的最短弦，连接OA，如图．∵OP⊥AB，∴AP＝BP.在Rt△APO中，∵OP＝2，OA＝3，∴AP＝＝，∴AB＝2AP＝
2.故答案为
2.8．[答案]
1.6[解析]如图，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OC.由题意知OF⊥CD.∵AB＝
1.2m，OE⊥AB，OA＝1m，∴OE＝
0.8m.∵水管水面上升了
0.2m，∴OF＝
0.8－
0.2＝
0.6m，∴CF＝＝＝0．8m，∴CD＝2CF＝
1.6m.9．[答案]4[解析]∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴由垂径定理，得AC＝PC，PD＝BD，∴CD是△APB的中位线，∴CD＝AB＝×8＝
4.10．[解析]由垂径定理可得∠COE和的度数．解∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴＝.∵∠COD＝100°，∴的度数为100°，∴的度数＝的度数＝的度数＝50°，∴∠COE＝50°，的度数＝的度数－的度数＝130°.故∠COE＝50°，的度数为130°.11．[解析]连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理列出方程，求出方程的解即可．解如图，连接OB.设OB＝OA＝R，则OE＝16－R.∵AD⊥BC，BC＝16，∴∠OEB＝90°，BE＝BC＝
8.在Rt△OBE中，由勾股定理，得OB2＝OE2＋BE2，即R2＝16－R2＋82，解得R＝10，即⊙O的直径为
20.12．解如图，设圆形污水管道的圆心为O，过点O作OC⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA.由题意，得CD＝10cm，AB＝60cm，∴AC＝AB＝×60＝30cm．设OA＝xcm，则OC＝OD－CD＝x－10cm.在Rt△OAC中，由勾股定理，得x2＝302＋x－102，解得x＝50，∴内径为100cm.答维修人员应准备内径为100cm的管道．13．解1过点O作OH⊥EF，垂足为H.∵OH⊥EF，∴∠AHO＝90°.在Rt△AOH中，∵∠AHO＝90°，∠PAQ＝30°，∴OH＝AO.∵BC＝10cm，∴BO＝5cm.∵AO＝AB＋BO，AB＝3cm，∴AO＝3＋5＝8cm，∴OH＝4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm.2连接OE.在Rt△EOH中，∵∠EHO＝90°，∴EH2＋OH2＝OE
2.∵OE＝BO＝5cm，OH＝4cm，∴EH＝＝＝3cm．∵OH过圆心O，OH⊥EF，∴EF＝2EH＝6cm.14．解1∵OE⊥CD于点E，CD＝24m，∴DE＝CD＝12m.∵＝，∴DO＝13m.2OE＝＝＝5m，∴将水排干需5÷
0.5＝10时．即经过10小时才能将水排干．[素养提升][解析]1根据垂径定理可得BD＝BC，然后只需运用勾股定理即可求出线段OD的长；2连接AB，如图，利用勾股定理可求出AB的长，根据垂径定理可得D，E分别是线段BC，AC的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE＝AB，即DE边的长度保持不变．解1∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝×6＝
3.在Rt△OBD中，∵OB＝5，BD＝3，∴OD＝＝4，即线段OD的长为
4.2存在，DE边的长度保持不变．理由如图，连接AB.∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，∴AB＝＝
5.∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D，E分别是线段BC，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝，∴DE边的长度保持不变．。
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