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第4章 相似三角形
4.3 相似三角形知识点1 相似三角形的概念图4-3-11.如图4-3-1所示,D是△ABC的边AB上一点,当∠ADC=________,∠ACD=________,==时,△ADC∽△ACB.2.下列命题中,是真命题的为 A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似3.找出如图4-3-2所示相似三角形的对应边和对应角.图4-3-2知识点2 相似比4.已知△ABC∽△A′B′C′,且相似比为2,则 A.∠A是∠A′的2倍B.∠A′是∠A的2倍C.AB是A′B′的2倍D.A′B′是AB的2倍5.若△ABC∽△A′B′C′,且=,则△A′B′C′与△ABC的相似比为________;若△ABC≌△A′B′C′,则△ABC与△A′B′C′的相似比为________.图4-3-36.如图4-3-3,已知△ADE∽△ABC,若AD=1,BD=2,则△ADE与△ABC的相似比是________.知识点3 相似三角形的性质7.如图4-3-4,△ABC∽△DEF,相似比为1∶2,若BC=1,则EF的长是 图4-3-4A.1B.2C.3D.48.xx·杭州三模图4-3-5中的两个三角形相似,则α与β的度数分别为 图4-3-5A.α=30°,β=30°B.α=105°,β=30°C.α=30°,β=105°D.α=105°,β=45°9.如图4-3-6,已知△ABC与△ADE相似,且∠ADE=∠B,则下列比例式正确的是 图4-3-6A.=B.=C.=D.=10.课本课内练习第2题变式如图4-3-7,已知AD,BC相交于点O,△AOB∽△DOC,相似比是2∶
5.1若AB=3cm,求CD的长;2若∠D=45°,∠AOB=75°,求∠B的度数.图4-3-711.如图4-3-8,在△ABC中,BC=3,AC=4,若△ABC∽△BDC,则CD= A.2B.C.D.图4-3-8 图4-3-912.如图4-3-9,由边长为1的正方形组成的网格中,△ABC与△A1B1C1都是格点三角形顶点在网格交点处,并且△ABC∽△A1B1C1,则△ABC与△A1B1C1的相似比是________.13.在△ABC中,AB=9,AC=12,BC=18,D为AC上一点,DC=AC,在AB上取一点E,得到△ADE,若两个三角形相似,则DE的长为________.14.如图4-3-10,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AD,DC上,△ABE∽△DEF,AB=6,AE=9,DE=2,求EF的长.图4-3-1015.如图4-3-11,在△ABC中,∠ACB=90°,且CD⊥AB于点D,且△ACD∽△ABC∽△CBD.求证1CD2=AD·BD;2=.图4-3-1116.从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.1如图4-3-12
①,在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且AD=CD,则∠ACB=________°.2如图
②,在△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长. 图4-3-12详解详析1.∠ACB ∠B2.D 3.解
①对应边AD与AB,AE与AC,DE与BC;对应角∠A与∠A,∠ADE与∠B,∠AED与∠C.
②对应边AO与BO,CO与DO,AC与BD;对应角∠A与∠B,∠C与∠D,∠AOC与∠BOD.
③对应边DE与DG,DF与DH,EF与GH;对应角∠E与∠G,∠EDF与∠GDH,∠F与∠H.4.C5.3 1
6.1∶37.B [解析]由△ABC∽△DEF,相似比为1∶2,可知BC∶EF=1∶
2.又BC=1,所以EF=
2.故选B.8.B9.D [解析]本题中∠ADE与∠B是对应角,所以AE与AC,AD与AB,DE与BC是对应边.10.解1∵△AOB∽△DOC,相似比是2∶5,∴=,∴=,∴CD=cm.2∵△AOB∽△DOC,∠D=45°,∴∠A=
45.又∵∠AOB=75°,∴∠B=60°.11.D [解析]∵△ABC∽△BDC∴=.∵BC=3,AC=4,∴CD==.12.∶1[解析]△ABC∽△A1B1C1,则AC与A1C1为对应边,AC=,A1C1=1,∴相似比为∶
1.13.6或8[解析]1当△AED∽△ABC时,此时图形为图ⓐ,可得DE=6;2当△ADE∽△ABC时,此时图形为图ⓑ,可得DE=
8.所以DE的长为6或
8.14.解在Rt△ABE中,BE===
3.∵△ABE∽△DEF,∴=,即=,∴EF=.15.证明1∵△ACD∽△CBD,∴=,∴CD2=AD·BD.2∵△ACD∽△CBD,∴==.设===k,则=k2=·,即=.16.解1当AD=CD时,如图,∠ACD=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.故填
96.2由已知可得AC=AD=2,∵△BCD∽△BAC,∴=,设BD=x,则BA=x+2,∴2=xx+2.∵x>0,∴x=-
1.即BD=-
1.∵△BCD∽△BAC,∴==,∴CD=×2=-.。