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第4章 锐角三角形函数
4.3 解直角三角形知识点1 已知一边一角解直角三角形1.如图4-3-1,在Rt△ABC中,∠C=90°.1已知∠A和c,则a=________,b=________;2已知∠B和b,则a=________,c=________.2.在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC= A.3sin40°B.3sin50°C.3tan40°D.3tan50°图4-3-1 图4-3-23.如图4-3-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是 A.B.4C.8D.44.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=8,∠B=60°,求∠A,b,c.知识点2 已知两边解直角三角形5.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,AC=,则AB=________,∠A=______°,∠B=________°.6.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,如果a=2,b=2,求c及∠B.知识点3 已知一边和锐角三角函数解直角三角形7.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,BC=5,则∠B=________°,AB=________.8.xx·岳阳如图4-3-3是教学用三角尺,边AC=30cm,∠C=90°,tan∠BAC=,则边BC的长为 A.30cmB.20cmC.10cmD.5cm9.在△ABC中,已知∠C=90°,BC=4,sinA=,那么AC边的长是 A.6B.2C.3D.2图4-3-3 图4-3-4知识点4 “双直角三角形”问题10.如图4-3-4,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AB=8,∠ABD=30°,∠CAD=45°,则BC的长为 A.4B.4+4C.4-4D.411.教材习题
4.3第3题变式如图4-3-5,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,已知∠BDC=45°,BD=10,AB=20,求∠A的度数.图4-3-512.如图4-3-6所示,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=10,tanB=,则BC的长为 A.6B.8C.12D.16图4-3-6 图4-3-713.如图4-3-7,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,则tan∠EAF=________.14.如图4-3-8,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,D是边AB上一点,∠BDC=45°,AD=
4.求BC的长.结果保留根号图4-3-815.如图4-3-9,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=2,OB=1,OA与x轴的正方向的夹角为30°,求A,B两点的坐标.图4-3-916.如图4-3-10,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,∠BCD=45°,点E在BC上,且∠AEB=60°,若AB=2,AD=1,求CD和CE的长.结果保留根号图4-3-1017.如图4-3-11,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE与CD,CB分别相交于点H,E,AH=2CH.1求sinB的值;2如果CD=,求BE的长.图4-3-11 详解详析1.1c·sinA c·cosA2 2.D [解析]∵∠C=90°,∠A=40°,∴∠B=90°-∠A=90°-40°=50°.又∵tanB=,∴AC=BC·tanB=3tan50°.故选D.3.D [解析]∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,cosB=,即cos30°=,∴BC=8×=
4.故选D.4.解∠A=90°-∠B=30°,c==16,b=a·tanB=
8.5.2 30 606.解在Rt△ABC中,由勾股定理,得c2=a2+b2=22+22=42,∴c=
4.∵sinB===,∴∠B=60°.7.60 108.C [解析]∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴tan∠BAC=.又∵AC=30cm,tan∠BAC=,∴BC=AC·tan∠BAC=30×=10cm.故选C.9.B [解析]∵在△ABC中,∠C=90°,BC=4,∴sinA===,∴AB=6,∴AC==
2.10.B [解析]首先解Rt△ABD,求出AD,BD的长,再解Rt△ADC,求出DC的长,然后由BC=BD+DC即可求解.11.解∵在Rt△BDC中,∠BDC=45°,BD=10,∴BC=BD·sin∠BDC=10×=
10.∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=20,∴sinA===,∴∠A=30°.12.D [解析]∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,∴AD⊥BC,BD=CD,∴tanB==,∴AD=BD.∵AD2+BD2=AB2,∴BD2+BD2=102,∴BD=8,∴BC=
16.故选D.
13. [解析]∵四边形ABCD为矩形,∴CD=AB=8cm,AD=BC=10cm.∵折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处,∴AF=AD=10cm,DE=EF,∠AFE=∠D=90°.在Rt△ABF中,BF==6cm,∴FC=BC-BF=4cm.设EF=xcm,则DE=xcm,CE=CD-DE=8-xcm.在Rt△CEF中,∵CF2+CE2=EF2,∴42+=x2,解得x=5,即EF=5cm.在Rt△AEF中,tan∠EAF===.14.解设BC=x,在Rt△BCD中,∠DBC=90°,∠BDC=45°,∴BD=BC=x.∵AD=4,∴AB=4+x.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,BC=x,AB=4+x.∵tanA=,即=,解得x=2+2,∴BC的长为2+
2.15.解过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D.在Rt△AOC中,AC=2sin30°=1,OC=2cos30°=,所以点A的坐标为,1.因为∠AOB=90°,∠AOC=30°,所以∠BOC=60°.同理,BD=OB·sin60°=,OD=OB·cos60°=.因为点B在第四象限,所以点B的坐标为,-.16.解过点D作DF⊥BC,垂足为F.∵AD∥BC,∠ABC=90°,DF⊥BC,∴∠BAD=∠ABC=∠DFB=90°,∴四边形ABFD为矩形,∴DF=AB=2,BF=AD=
1.∵在Rt△DFC中,∠C=45°,∴DF=FC=2,CD=DF=2,∴BC=FC+BF=AB+AD=2+
1.在Rt△ABE中,BE==2,∴CE=BC-BE=2+1-2=2-
1.即CD=2,CE=2-
1.17.解1在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠B=90°.∵AE⊥CD,∴∠CAH+∠ACH=90°.∵CD是斜边AB上的中线,∴CD=AD,∴∠DAC=∠ACD,∴∠B=∠CAH,∴sinB=sin∠CAH.又∵AH=2CH,∴AC=CH,∴sinB=sin∠CAH==.2∵CD=,∴AB=
2.∵sinB=,∴AC=2,∴BC=
4.又∵sinB=sin∠CAH==,AC=2,∴CE=1,∴BE=BC-CE=4-1=
3.。