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22.3 相似三角形的性质第1课时 相似三角形的性质知|识|目|标1.通过观察、猜想、论证和归纳的过程,探索相似三角形的性质定理1,2,会用定理1,2进行计算;2.通过回顾比例的性质,结合相似三角形的性质定理1,2,探索发现相似三角形的性质定理3,会用定理3进行计算.目标一 会根据相似三角形的定理1,2计算例1[教材补充例题]已知△ABC∽△A′B′C′,=,AB边上的中线CD=4cm,△ABC的周长为20cm.根据相似三角形的性质,完成下列问题1根据对应边比例等于相似比,由=可知△ABC与△A′B′C′的相似比为________;由相似三角形的对应中线之比等于相似比可知==________,由CD=4cm,得C′D′=________cm.2根据相似三角形的周长之比等于相似比可知==________,由C△ABC=20cm,得C△A′B′C′=________cm.例2[教材例1变式]如图22-3-1,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AD=BC=12,点P在AB上,且PQ∥AD交BC于点Q,PM∥BC交AC于点M,若PM=2PQ,求PM的长.图22-3-1【归纳总结】根据题意,利用相似三角形对应线段的性质建立比例式,得到已知线段与未知线段的数量关系;再设未知数,列出方程求解.目标二 会根据相似三角形的定理3计算例3[教材例2变式]如图22-3-2,在△ABC中,DE∥BC,且S△ADE∶S四边形BCED=1∶2,BC=2,试求DE的长.图22-3-2例4[教材补充例题]如图22-3-3,将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′.△ABC与△A′B′C′重叠部分图中阴影部分的面积是△ABC面积的.已知BC=cm,求△ABC平移的距离.图22-3-3【归纳总结】相似三角形面积的比等于相似比的平方,而不是等于相似比,在解题中,知识点一 相似三角形对应线段的比等于相似比相似三角形性质定理1相似三角形________________、________________和____________________都等于相似比.相似三角形的相似比、对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比这四个量中已知其中的一个量,就能知道其他三个量.[点拨]利用相似三角形的性质时,要注意“对应”两字,要找准对应线段.知识点二 相似三角形周长的比等于相似比相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于________.相似三角形周长的比=对应高的比=对应中线的比=对应角平分线的比=相似比对应边的比.[点拨]1相似三角形周长的比等于相似比是利用等比性质得到的.2利用相似三角形的周长比与相似比的关系可以进行有关边长、周长或比值的计算.3周长的比的顺序要和对应边的比的顺序一致.知识点三 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形性质定理3相似三角形面积的比等于______________.反过来,相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根.已知相似比求面积比要平方;已知面积比求相似比要开方.数学活动课上,田老师布置了一道思考题如图22-3-4,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分Ⅰ和Ⅱ面积相等,则的值是多少?小明同学马上举手回答Ⅰ和Ⅱ面积相等,它们的面积都是△ABC的一半,所以的值是.小明同学的回答正确吗?请说明理由,并给出正确答案.图22-3-4教师详解详析【目标突破】例1 11∶2 8 2 40例2 解设PQ=x,则PM=2x,设AD交PM于点H.∵PM∥BC,∴△APM∽△ABC,∴=,即=,解得x=
4.∴PM=2x=
8.例3 [解析]先证明△ADE∽△ABC,再利用相似三角形的性质=,求出DE的长.解∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=.又∵=,可设S△ADE=k,则S四边形BCED=2k,∴S△ABC=3k,∴==,∴DE2=BC2=×24=8,∴DE=
2.例4 解如图,设AC与A′B′相交于点D.根据平移的性质,知AB∥A′B′,∴△DB′C∽△ABC.∵重叠部分图中阴影部分的面积是△ABC面积的,∴2=.∵BC=cm,∴2=,解得B′C=1cm.∴BB′=BC-B′C=-1cm.即△ABC平移的距离为-1cm.【总结反思】[小结]知识点一 对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比知识点二 相似比知识点三 相似比的平方[反思]小明同学的答案不正确.理由如下∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∵△ADE的面积和四边形BDEC的面积相等,∴==2,∴=.。