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23.
1.230 °，45 °，60 °角的三角函数值
一、选择题1．［xx·天津］cos60°的值等于 A.B．1C.D.2．下列各数是无理数的是 A．tan60°·tan30°B．cos45°·sin45°C．tan45°·sin45°D．cos60°·sin30°3．如图32－K－1，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于 A.B.C.D.图32－K－14．已知锐角α满足sinα＋20°＝1，则锐角α的度数为 A．10°B．25°C．40°D．45°5．点M－sin60°，－cos60°关于x轴对称的点的坐标是 A.B.C.D.6．在△ABC中，若∠A，∠B满足＋1－tanB2＝0，则∠C的大小是 A．45°B．60°C．75°D．105°7．［xx·安庆期末］△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan2B－3|＋2sinA－2＝0，则△ABC是 A．直角不等腰三角形B．等边三角形C．等腰不等边三角形D．等腰直角三角形8．［xx·安徽淮北期末］菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图32－K－2所示，∠AOC＝45°，OC＝，则点B的坐标为 A．，1B．1，C．＋1，1D．1，＋1图32－K－2
二、填空题9．在△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝45°，则cosA＋cosB的值等于________.10．某山路的路面坡度i＝1∶，那么此路面的坡角α是________度．11．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝，则∠C的度数是________．12．若锐角α满足tanα＋15°＝1，则cosα＝________．13．如图32－K－3，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则cos∠BAC＝________．图32－K－314．如图32－K－4，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，延长AD到点E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO＝________． 图32－K－415．［xx·临沂］一般地，当α，β为任意角时，sinα＋β与sinα－β的值可以用下面的公式求得sinα＋β＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ；sinα－β＝sinα·cosβ－cosα·sinβ.例如sin90°＝sin60°＋30°＝sin60°·cos30°＋cos60°·sin30°＝×＋×＝
1.类似地，可以求得sin15°的值是________．
三、解答题16．计算1［xx·安徽］－xx0＋＋tan45°；2cos60°－sin45°＋|－3tan30°|.17．［xx·安庆16中月考］如图32－K－5，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝
1.1若BC＝，求△ABC三个内角的度数；2若BC＝，求△ABC三个内角的度数．图32－K－518．如图32－K－6所示，AD是△ABC的高，AC＝12，∠BAD＝30°，∠DAC＝45°，求AB的长．图32－K－619．如图32－K－7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AD平分∠BAC，AD＝，求∠B的度数及边BC，AB的长．图32－K－720新定义类似在直角三角形中研究三角函数，我们新定义等腰三角形中腰与底边的比叫做底角的邻对can，如图32－K－8
①，在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作canB，这时canB＝＝＝.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题1分别计算can30°，can45°和can60°的值；2如图
②，已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝.若△ABC的周长为50，求△ABC的面积．图32－K－81．D2．[解析]C tan60°·tan30°＝1，cos45°·sin45°＝，tan45°·sin45°＝，cos60°·sin30°＝.3．[解析]C 由画图的过程可知△AOB是等边三角形，故sin∠AOB＝sin60°＝.4．[解析]B ∵sinα＋20°＝1，∴sinα＋20°＝，∴α＋20°＝45°，∴α＝45°－20°＝25°.故选B.5．[解析]C 关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数．6．D7．[解析]B 由绝对值和平方数的非负性可知tan2B－3＝0，2sinA－＝0，解得tanB＝，sinA＝，∴∠A＝∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A＋∠B＝60°，故△ABC是等边三角形．8．C9．[答案][解析]cosA＋cosB＝cos45°＋cos45°＝＋＝.10．[答案]30[解析]由题意得tanα＝i＝1∶＝，故α＝30°.11．[答案]75°[解析]∵cosA＝，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－45°－60°＝75°.12．[答案][解析]∵tanα＋15°＝1，tan45°＝1，∴α＋15°＝45°，解得α＝30°，∴cosα＝cos30°＝.13．[答案][解析]连接BC，易判断△ABC为等腰直角三角形，故cos∠BAC＝cos45°＝.14．答案][解析]由题意可证△BOA≌△EOA，则∠AEO＝∠ABO＝30°，所以tan∠AEO＝.15．[答案][解析]sin15°＝sin60°－45°＝sin60°·cos45°－cos60°·sin45°＝×－×＝.16．解1原式＝1－2＋1＝
0.2原式＝－×＋3×＝－＋＝.17．解1当BC＝时，∵AB＝AC＝1，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°.2过点A作AD⊥BC，垂足为D.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝，∴cosB＝＝＝，∴∠B＝30°，∠C＝30°，∠BAC＝180°－30°－30°＝120°.18．解因为AD是高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ADC中，cos∠DAC＝，所以AD＝AC·cos45°＝12×＝
6.在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，所以AB＝＝＝
4.19．解在Rt△ACD中，∵cos∠CAD＝＝＝，∠CAD为锐角，∴∠CAD＝30°，∠BAD＝∠CAD＝30°，即∠CAB＝60°，∴∠B＝90°－∠CAB＝30°.∵sinB＝，∴AB＝＝＝
16.又∵cosB＝，∴BC＝AB·cosB＝16×＝
8.20解1如图，∠B＝∠C＝30°，AD是BC边上的高，设AB＝AC＝2，则BD＝CD＝
2.根据邻对的定义，得can30°＝canB＝＝＝.若∠B＝∠C＝45°，则△ABC是等腰直角三角形，则can45°＝canB＝＝.若∠B＝∠C＝60°，则△ABC是等边三角形，则can60°＝canB＝
1.2过点A作AD⊥BC于点D.设AB＝AC＝13x，则由邻对的定义，得BC＝AB＝24x，∴13x＋13x＋24x＝50，解得x＝1，则AB＝AC＝13，BC＝24，BD＝CD＝12，∴AD＝＝＝5，∴S△ABC＝BC·AD＝×24×5＝
60.。
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