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第2章对称图形——圆类型之一 圆的有关性质1.[xx·宜昌]如图2-X-1,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD,则下列结论正确的是 A.AB=ADB.BC=CDC.=D.∠BCA=∠ACD图2-X-1 图2-X-
2.如图2-X-2,OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,点P在⊙O上,∠APC=26°,则∠BOC=________°.3.如图2-X-3,在⊙O中,弦AB∥CD.若∠ABC=40°,则∠BOD= A.80°B.50°C.40°D.20°图2-X-3 图2-X-4类型之二 切线的性质与判定4.如图2-X-4,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为D,CD与AB的延长线交于点C,∠A=30°,给出下面3个结论
①AD=CD;
②BD=BC;
③AB=2BC.其中正确结论的个数是 A.3B.2C.1D.05.如图2-X-5,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,∠BAD=35°,过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C,则∠C=________°.图2-X-5 图2-X-
6.如图2-X-6,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,过A,D两点的⊙O与BC边相切于点E,则⊙O的半径为________.7.[xx·宿迁改编]如图2-X-7,AB与⊙O相切于点B,BC为⊙O的弦,OC⊥OA,OA与BC相交于点P.1求证AP=AB;2若OB=4,OP=2,求线段AB的长.图2-X-78.已知在⊙O中,AC为直径,MA,MB分别切⊙O于点A,B.1如图2-X-8
①,若∠BAC=23°,求∠AMB的度数;2如图2-X-8
②,过点B作BD⊥AC于点E,交⊙O于点D.若BD=MA,求∠AMB的度数.图2-X-8类型之三 圆中的有关计算图2-X-99.[xx·南京二模]如图2-X-9,已知正方形的边长为1,若圆与正方形的四条边都相切,则阴影部分的面积与下列各数最接近的是 A.
0.1B.
0.2C.
0.3D.
0.410.如图2-X-10,点A在以BC为直径的⊙O内,且AB=AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,得到扇形ABC,剪下扇形ABC围成一个圆锥AB和AC重合.若∠BAC=120°,BC=,则这个圆锥底面圆的半径是 A.B.C.D.图2-X-10 图2-X-1111.如图2-X-11,⊙O的半径为4,△ABC是⊙O的内接三角形,连接OB,OC.若∠BAC与∠BOC互补,则弦BC的长为 A.3B.4C.5D.612.[xx·莱芜]圆锥的底面周长为,母线长为2,P是母线OA的中点,一根细绳无弹性从点P绕圆锥侧面一周回到点P,则细绳的最短长度为________.13.如图2-X-12,AB为⊙O的直径,AC,DC为弦,∠ACD=60°,P为AB延长线上的点,∠APD=30°.1求证DP是⊙O的切线;2若⊙O的半径为3cm,求图中阴影部分的面积.图2-X-12类型之四 圆中的分类讨论题14.若一个点到圆上的点的最小距离为3cm,最大距离为8cm,则该圆的半径是 A.5cm或11cmB.
2.5cmC.
5.5cmD.
2.5cm或
5.5cm15.在半径为1的⊙O中,若弦AB,AC的长分别是,,则∠BAC的度数为 A.15°B.15°或75°C.75°D.15°或65°16.已知△ABC内接于半径是6cm的⊙O,弦AB=6cm,则弦AB所对的圆周角∠ACB的度数是 A.30°B.60°C.60°或120°D.30°或150°类型之五 圆中的动点问题图2-X-1317.如图2-X-13,在Rt△AOB中,OA=OB=3,⊙O的半径为1,P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ点Q为切点,则线段PQ的最小值为________.18.如图2-X-14,已知⊙O的直径AB=12cm,AC是⊙O的弦,过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P,连接BC.1求证∠PCA=∠B;2已知∠P=40°,点Q在优弧ABC上,从点A开始逆时针运动到点C停止点Q与点C不重合,当△ABQ与△ABC的面积相等时,求动点Q所经过的弧长.图2-X-14详解详析1.B [解析]根据弦、弧、圆周角之间的关系,由相等的圆周角得到所对的弧、弦相等,可知选项B正确.2.52 [解析]∵OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,∴=,∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°.3.A [解析]∵AB∥CD,∴∠BCD=∠ABC=40°,∴∠BOD=2∠BCD=80°.故选A.4.A [解析]∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠A=30°,∴∠ABD=60°.连接OD,如图,∵OD=OB,∴△OBD是等边三角形,∴∠ODB=∠DOB=60°.∵CD是⊙O的切线,∴OD⊥DC,∴∠BDC=∠C=30°,∴BD=BC,∠C=∠A,∴AD=CD.∵在Rt△ADB中,∠A=30°,∴BD=AB,即AB=2BD,∴AB=2BC.因此结论
①②③都正确.故选A.5.20 [解析]如图,连接OD.∵CD是⊙O的切线,∴OD⊥CD.∵∠COD=2∠BAD=2×35°=70°,∴∠C=90°-∠COD=20°.6.
6.25 [解析]如图,连接OE,并反向延长OE交AD于点F,连接OA.∵BC是⊙O的切线,∴OE⊥BC,∴∠OEC=90°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°,∴四边形CDFE是矩形,∴EF=CD=AB=8,OF⊥AD,∴AF=AD=×12=
6.设⊙O的半径为x,则OF=EF-OE=8-x.在Rt△OAF中,OF2+AF2=OA2,则8-x2+36=x2,解得x=
6.25,∴⊙O的半径为
6.
25.故答案为
6.
25.7.解1证明∵AB与⊙O相切于点B,∴∠ABO=90°,∴∠ABP+∠OBC=90°.∵OC⊥OA,∴∠OPC+∠C=90°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠C,∴∠ABP=∠OPC.又∵∠APB=∠OPC,∴∠ABP=∠APB,∴AP=AB.2设AP=AB=x,则OA=2+x.在Rt△AOB中,AB2+OB2=OA2,∴x2+42=x+22,解得x=3,即线段AB的长是
3.8.[解析]1根据切线的性质得到AM⊥AC,可得出∠MAC为直角,可求∠MAB的度数.又由切线长定理得到MA=MB,进而求得∠AMB的度数;2连接AB,AD,由直径AC垂直于弦BD,根据垂径定理得到A为优弧BAD的中点,根据等弧对等弦可得出AB=AD.而AM⊥AC,BD⊥AC,则BD∥AM.又BD=AM,可知四边形ADBM为平行四边形,再由邻边MA=MB,得到四边形ADBM为菱形.根据菱形的邻边相等可得出BD=AD,进而得到AB=AD=BD,即△ABD为等边三角形,根据等边三角形的性质得到∠D为60°,再利用菱形的对角相等可得出∠AMB=∠D=60°.解1∵MA切⊙O于点A,∴∠MAC=90°.又∵∠BAC=23°,∴∠MAB=∠MAC-∠BAC=67°.∵MA,MB分别切⊙O于点A,B,∴MA=MB,∴∠MBA=∠MAB=67°,∴∠AMB=180°-∠MAB+∠MBA=46°.2连接AD,AB.∵MA⊥AC,BD⊥AC,∴BD∥MA.又∵BD=MA,∴四边形MADB是平行四边形.又∵MA=MB,∴▱MADB是菱形,∴AD=BD.∵AC为⊙O的直径,AC⊥BD,∴=,∴AB=AD,∴AB=AD=BD,∴△ABD是等边三角形,∴∠D=60°,∴在菱形MADB中,∠AMB=∠D=60°.
9.B [解析]∵正方形的边长为1,圆与正方形的四条边都相切,∴S阴影=S正方形-S圆=1-
0.25π≈
0.
21.10.A
11.B12.113.解1证明连接OD.∵∠ACD=60°,∴由圆周角定理,得∠AOD=2∠ACD=120°,∴∠DOP=180°-120°=60°.∵∠APD=30°,∴∠ODP=180°-30°-60°=90°,∴OD⊥DP.∵OD为⊙O的半径,∴DP是⊙O的切线.2∵∠APD=30°,∠ODP=90°,OD=3cm,∴OP=6cm,由勾股定理,得DP=3cm,∴图中阴影部分的面积S=S△ODP-S扇形ODB=×3×3-=cm
2.14.D [解析]当点P在圆内时,圆的直径是11cm,因而半径是
5.5cm;当点P在圆外时,圆的直径是5cm,因而半径是
2.5cm.故选D.15.B [解析]如图
①,分别连接OA,OB,OC.过点O分别作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E.则AD=,AE=.∵OA=1,∴OD==AD,OE=,∴∠OAD=45°,∠OAE=30°,∴∠BAC=75°.如图
②,同理可得∠OAD=45°,∠OAE=30°,∴∠BAC=45°-30°=15°,故选B.16.C [解析]连接OA,OB,过点O作OD⊥AB于点D,易得OD=3,∴∠OAB=30°,∴∠AOD=60°,∴∠AOB=120°.当点C在劣弧AB上时,如图
①所示,∠ACB=×360°-120°=120°;当点C在优弧ACB上时,如图
②所示,∠ACB=∠AOB=60°.故选C.17.2 [解析]如图,连接OP,OQ.∵PQ是⊙O的切线,∴OQ⊥PQ.根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ
2.当OP⊥AB时,线段OP最短,此时线段PQ最短.∵在Rt△AOB中,OA=OB=3,∴AB=6,∴OP=3,∴PQ==
2.18.[全品导学号54602137]解1证明如图,连接OC.∵PC是⊙O的切线,∴∠PCO=90°,∴∠1+∠PCA=90°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠2+∠B=90°.∵OC=OA,∴∠1=∠2,∴∠PCA=∠B.2∵∠P=40°,∠PCO=90°,∴∠AOC=50°.∵AB=12,∴OA=
6.当点Q在AB下方,且∠AOQ=∠AOC=50°时,△ABQ与△ABC的面积相等,此时点Q所经过的弧长==cm;当点Q在AB下方,且∠BOQ=∠AOC=50°时,△ABQ与△ABC的面积相等,此时点Q所经过的弧长==cm;当点Q在AB上方,且∠BOQ=∠AOC=50°,即∠AOQ=230°时,△ABQ与△ABC的面积相等,此时点Q所经过的弧长==cm.∴当△ABQ与△ABC的面积相等时,动点Q所经过的弧长为cm或cm或cm.。