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文本内容:
第3章 图形的相似
3.
4.1 相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定定理
(1)知识点 两角分别相等的两个三角形相似1.如图3-4-19,D是BC上的一点,∠ADC=∠BAC,则下列结论正确的是 图3-4-19A.△ABC∽△DABB.△ABC∽△DACC.△ABD∽△ACDD.以上都不对 图3-4-202.如图3-4-20,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,DE∥BC,那么在下列三角形中,与△ABC相似的是 A.△DBE B.△ADBC.△BDC D.以上都对3.已知一个三角形的两个内角分别是40°,60°,另一个三角形的两个内角分别是40°,80°,则这两个三角形________相似.填“一定不”或“不一定”或“一定”4.如图3-4-21,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点DE不平行于BC,当∠C=________时,△AED与△ABC相似.图3-4-21 图3-4-225.如图3-4-22,在△ABC中,AD⊥BC,再添加一个条件______________,可使△ABD∽△CAD.6.如图3-4-23,锐角三角形ABC的边AB和AC上的高线CE和BF相交于点D,请写出图中的一对相似三角形________________.图3-4-23 图3-4-247.如图3-4-24,AE,BD交于点C,BA⊥AE于点A,ED⊥BD于点D.若AC=4,AB=3,CD=2,则CE=________.8.如图3-4-25,在△ABC中,AB=AC,D是线段BC上一点,连接AD.若∠B=∠BAD.求证△ABC∽△DBA.图3-4-259.如图3-4-26,在△ABC中,∠C=90°,DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N,交AB于点E.求证△DME∽△BCA.图3-4-2610.xx·江西如图3-4-27,正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且∠EFG=90°.求证△EBF∽△FCG.图3-4-2711.如图3-4-28,E,F分别在矩形ABCD的边AD,DC上,且∠BEF=90°,则与△DEF相似的三角形是 A.△EBFB.△ABEC.△BCFD.以上都不是图3-4-28 图3-4-2912.如图3-4-29,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在BC上,DE与AC相交于点F.若AB=9,BD=3,则CF的长为 A.1B.2C.3D.413.如图3-4-30,在菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD于点E,NF⊥AB于点F.若NF=NM=2,ME=3,则AN等于 A.3B.4C.5D.6图3-4-30 图3-4-3114.xx·益阳期中如图3-4-31,在△ABC中,D为AB边上一点,且∠BCD=∠A,已知BC=2,AB=3,则BD=________.15.如图3-4-32,D,E是△ABC的边AB,AC上的点,∠A=35°,∠C=85°,∠AED=60°.求证AD·AB=AE·AC.图3-4-3216.如图3-4-33,在Rt△ABC中,∠C=90°,将△ACD沿AD折叠,使得点C落在斜边AB上的点E处.1求证△BDE∽△BAC;2已知AC=6,BC=8,求线段AD的长.图3-4-3317.xx·武汉在△ABC中,P为边AB上一点.1如图3-4-34a,若∠ACP=∠B,求证AC2=AP·AB.2若M为CP的中点,AC=
2.
①如图3-4-34b,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长;
②如图3-4-34c,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP的长.图3-4-341.B [解析]∵∠ADC=∠BAC,∠C=∠C,∴△ABC∽△DAC.2.C [解析]求出选项中各三角形各个角的度数,发现△BDC中有两个角与△ABC中两个角对应相等,所以它们相似.3.一定 [解析]∵一个三角形的两个内角分别是40°,60°,∴它的第三个内角为80°.又∵另一个三角形的两个内角分别是40°,80°,∴这两个三角形有两个内角相等,∴这两个三角形一定相似.4.∠ADE5.∠B=∠CAD答案不唯一[解析]∵∠ADB=∠ADC=90°,添加∠B=∠CAD,则△ABD∽△CAD.6.答案不唯一,如△ABF∽△DBE或△ACE∽△DCF或△EDB∽△FDC等7.
2.5 [解析]∵BA⊥AE,∴BC===
5.∵BA⊥AE,ED⊥BD,∴∠A=∠D=90°.又∵∠ACB=∠DCE,∴△ABC∽△DEC,∴=,即=,∴EC=
2.
5.8.证明∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠B=∠BAD,∴∠BAD=∠C.又∵∠B=∠B,∴△ABC∽△DBA.9.证明∵∠C=90°,DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N,∴∠C=∠ENB=∠DME=90°,∴AC∥DN,∴∠BEN=∠A.又∵∠BEN=∠DEM,∴∠DEM=∠A.在△DME与△BCA中,∵∠DEM=∠A,∠DME=∠C,∴△DME∽△BCA.10.证明∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=∠C=90°,∴∠BEF+∠BFE=90°.∵∠EFG=90°,∴∠BFE+∠CFG=90°,∴∠BEF=∠CFG,∴△EBF∽△FCG.11.B12.B [解析]因为△ABC和△ADE均为等边三角形,所以∠B=∠ADF=60°,所以∠BAD+∠ADB=∠FDC+∠ADB=120°,所以∠BAD=∠FDC.又因为∠B=∠C=60°,所以△BAD∽△CDF,所以AB∶CD=BD∶CF,所以9∶6=3∶CF,所以CF=
2.13.B [解析]∵ME⊥AD,NF⊥AB,∴∠AFN=∠AEM=90°.∵四边形ABCD是菱形,∴∠FAN=∠EAM,∴△FAN∽△EAM,∴=,即=,解得AN=
4.
14. [解析]∵∠A=∠BCD,∠ABC=∠CBD,∴△ABC∽△CBD,∴=,即=,∴BD=.故答案为.15.在△ABC中,∠A=35°,∠C=85°,∴∠B=60°.又∵∠AED=60°,∴∠B=∠AED.又∵∠A为公共角,∴△AED∽△ABC,∴=,∴AD·AB=AE·AC.16.1证明∵∠C=90°,由折叠的性质得∠AED=∠C=90°,∴∠DEB=∠C=90°.又∵∠B=∠B,∴△BDE∽△BAC.2由勾股定理,得AB=
10.由折叠的性质,知AE=AC=6,DE=CD,∠AED=∠C=90°,∴BE=AB-AE=10-6=
4.在Rt△BDE中,由勾股定理,得DE2+BE2=BD2,即CD2+42=8-CD2,解得CD=
3.在Rt△ACD中,由勾股定理,得AC2+CD2=AD2,即62+32=AD2,解得AD=
3.17.1证明∵∠ACP=∠B,∠PAC=∠CAB,∴△ACP∽△ABC,∴=,∴AC2=AP·AB.2
①如图,作CQ∥BM交AB的延长线于点Q,∴∠PBM=∠Q.∵∠PBM=∠ACP,∴∠ACP=∠Q.又∵∠PAC=∠CAQ,∴△APC∽△ACQ,∴=,∴AC2=AP·AQ.又∵M为PC的中点,BM∥CQ,∴==.设BP=x,则BQ=x,∴22=3-x3+x,解得x1=,x2=-不合题意,舍去,∴BP=.
②BP=-
1.。