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4.3 解直角三角形教学目标【知识与技能】使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.【过程与方法】通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.【情感态度】渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.【教学重点】直角三角形的解法.【教学难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用.教学过程
一、情景导入,初步认知1.什么是锐角三角函数?2.你知道哪些特殊的锐角三角函数值?【教学说明】通过复习,使学生便于应用.
二、思考探究,获取新知1.在三角形中共有几个元素?2.直角三角形ABC中,∠C=90°,a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?1边、角之间的关系sinA=cosA=tanA=2三边之间的关系a2+b2=c2勾股定理3锐角之间的关系∠A+∠B=90°.3.做一做在直角三角形ABC中,已知两边,你能求出这个直角三角形中其他的元素吗?4.做一做在直角三角形ABC中,已知一角一边,你能求出这个直角三角形中其他的元素吗?5.想一想在直角三角形ABC中,已知两角,你能求出这个直角三角形中其他的元素吗?6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,a=
5.求∠B、b、c.解∵∠B=90°-∠A=60°,又∵tanB=,∴b=a·tanB=5·tan60°=
5.∵sinA=,∴c===
10.【归纳结论】像这样,在直角三角形中,利用已知元素求其余未知元素的过程,叫作解直角三角形.7.在解直角三角形中,两个已知元素中至少有一条边.【教学说明】我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系,利用这些关系,在知道其中的两个元素至少有一个是边后,就可求出其余的元素.这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念,同时又陷入思考,为什么两个已知元素中必有一条边呢?激发了学生的学习热情.
三、运用新知,深化理解1.见教材P122例
2.2.已知在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,c=8,∠A=60°,求∠B、a、b.解a=csin60°=8×=12,b=ccos60°=8×=4,∠B=30°.3.已知在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,a=3,∠A=30°,求∠B、b、c.解∠B=90°-30°=60°,b=atanB=3×=9,c=====
6.另解由于=sinA,所以==6.4.已知在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,c=-,a=-1,求∠A、∠B、b.解由于==sinA,所以sinA====,由此可知,∠A=45°,∠B=90°-45°=45°,且有b=a=-
1.5.已知在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,a=6,b=2,求∠A、∠B、c.解由于tanA=,所以tanA==,则∠A=60°,∠B=90°-60°=30°,且有c=2b=2×2=
4.6.在直角三角形ABC中,锐角A为30°,锐角B的平分线BD的长为8cm,求这个三角形的三条边的长.解由已知可得△BCD是含30°的直角三角形,所以CD=BD=×8=4cm,△ADB是等腰三角形,所以AD=BD=8cm,则有AC=8+4=12cm,BC==12×=4cm,AB===8cm.7.如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,AC=6,折叠该纸片,使点C落在AB边上的D点处,折痕BE与AC交于点E,若AD=BD,则折痕BE的长为多少?分析先根据图形翻折变换的性质得出BC=BD,∠BDE=∠C=90°,再根据AD=BD可知AB=2BC,AE=BE,故∠A=30°,由锐角三角函数的定义可求出BC的长,设BE=x,则CE=6-x,在Rt△BCE中根据勾股定理即可得出BE的长.解∵△BDE是由△BCE翻折而成,∴BC=BD,∠BDE=∠C=90°,∵AD=BD,∴AB=2BC,AE=BE,∴∠A=30°.在Rt△ABC中,∵AC=6,∴BC=AC·tan30°=6×=2,设BE=x,则CE=6-x,在Rt△BCE中,∵BC=2,BE=x,CE=6-x,BE2=CE2+BC2,∴x2=6-x2+22,解得x=
4.即BE=
4.【教学说明】解直角三角形是解实际应用题的基础,因此必须使学生熟练掌握.为此,教材配备了针对各种条件的练习,培养学生熟练解直角三角形和运算的能力.
四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业教材“习题
4.3”中第
1、
3、4题.教学反思解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用.因此,此题在处理时,首先,应让学生独立完成,培养其分析问题、解决问题的能力,同时渗透数形结合的思想.其次,教师组织学生比较各种方法中哪些较好,选一种板演.。