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第4章 锐角三角函数
4.4解直角三角形的应用第2课时坡度与坡脚、方位角相关问题课题第2课时 坡度与坡脚、方位角相关问题授课人教学目标知识技能弄清铅垂高度、水平宽度、坡度或坡比、坡角等概念,并会解答相应的实际问题.
2.能应用解直角三角形的知识,解答综合的实际问题.数学思考 把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决.问题解决 通过阅读教材、结合看图、讨论交流、例题学习来了解坡高、坡度、坡角及其关系,并获得解答应用题的一些经验.情感态度 通过本节课的学习一方面增强学生对解直角三角形的应用意识,另一方面培养学生耐心、细致、认真的学习态度.教学重点 理解坡度和坡角的概念.教学难点 利用坡度和坡角等条件,解决有关的实际问题.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾 如图4-4-51,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=6米,若∠B的余弦值是,上底AD的长是2米,求它的高AE和四边形ABCD的面积.图4-4-51[答案AE=2米,四边形ABCD的面积是12平方米]学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法.活动一创设情境导入新课【课堂引入】为了防汛,要修一段长为a千米的河堤,需要多少土石方,多少劳动力,多少资金,都要先计算筹备,如何计算?首先要知道河堤的横断面是什么形状.修好后如何检验是否符合设计标准并进行经费的决算,这些都取决于河堤的横断面的面积如何测算.那么究竟如何测算呢?这就需要我们探究坡度、坡角等问题.鼓励学生思考,让学生初步知道坡角、坡度等在实际生活中的应用.活动二实践探究交流新知【探究1】多媒体出示有关概念
1.铅垂高度h.
2.水平宽度l.图4-4-
523.坡度坡比i坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比.i==tanα.
4.坡角α坡面与水平面的夹角.显然,坡度i越大,坡角α就越大,坡面就越陡.【探究2】多媒体出示求坝高某水坝的坡度i=1∶,坡长AB=20米,求水坝的高度.如图4-4-53图4-4-53∵坡度i=1∶,∴设AC=x,BC=x,根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2,则x2+x2=202,解得x=
10.即水坝的高度为10米.【探究3】多媒体出示求斜坡长如图4-4-54所示,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶,堤高BC=5米,求坡面AB的长.河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶,即==,∴∠BAC=30°,∴AB=2BC=2×5=10米.图4-4-54【探究4】多媒体出示探究坡角某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度i=1∶,坝外斜坡的坡度i=1∶1,求坝内斜坡的坡角α及坝外斜坡的坡角β.坝内斜坡的坡度i=1∶,说明tanα=,则α=30°.坝外斜坡的坡度i=1∶1,说明tanβ=1,β=45°.
1.本活动的设计意在引导学生通过自主探究,合作交流,使其对具体问题的认识从形象到抽象,训练学生能从实际问题中抽象出数学知识.旨在培养学生的问题意识;提高学生的抽象思维能力.
2.四个探究主要是师生共同探究坡度、坡角、斜坡长的求法与简单的应用.活动三开放训练体现应用【应用举例】例1 如图4-4-55,小明从点A出发,沿着坡角为α的斜坡向上走了
0.65千米到达点B,sinα=,然后又沿着坡度为i=1∶4的斜坡向上走了1千米到达点C.问小明从A点到C点上升的高度CD是多少千米结果保留根号?图4-4-55变式 如图4-4-56,在山坡上植树,已知山坡的倾斜角α是20°,小明种植的两棵树之间的坡面距离AB是6米.要求相邻两棵树间的水平距离AC在
5.3~
5.7米范围内,问小明种植的这两棵树是否符合这个要求?参考数据sin20°≈
0.34,cos20°≈
0.94,tan20°≈
0.36[答案小明种植的这两棵树符合要求]图4-4-56例2 [益阳中考]益阳市为了改善市区交通状况,计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥.如图4-4-57,新大桥的两端位于A,B两点,小张为了测量A,B之间的河宽,在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据∠BDA=
76.1°,∠BCA=
68.2°,CD=82米.求AB的长精确到
0.1米.参考数据sin
76.1°≈
0.97,cos
76.1°≈
0.24,tan
76.1°≈
4.0,sin
68.2°≈
0.93,cos
68.2°≈
0.37,tan
68.2°≈
2.
5.[答案AB的长约为
546.7米]图4-4-57 例3 [十堰中考]如图4-4-58,轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上,轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行,1小时后到达码头B处,此时观测到灯塔C位于北偏西25°方向上,则灯塔C与码头B的距离是__24__海里.结果保留整数,参考数据≈
1.4,≈
1.7,≈
2.4图4-4-58例1考查了学生对解直角三角形的应用,解题的关键是通过作垂线构造直角三角形.同时引导学生作辅助线的思路和方法. 例2主要是利用解直角三角形,求河宽.使学生在不同知识背景下灵活运用解直角三角形的知识解决问题.【拓展提升】
1.利用坡度求缆绳长例4 [山西中考]如图4-4-59,点A,B,C表示某旅游景区三个缆车站的位置,线段AB,BC表示连接缆车站的钢缆,已知A,B,C三点在同一竖直平面内,它们的海拔高度AA′,BB′,CC′分别为110米,310米,710米,钢缆AB的坡度i=1∶2,钢缆BC的坡度i=1∶1,景区因改造缆车线路,需要从A到C直线架设一条钢缆,那么钢缆AC的长度是多少米?注坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比图4-4-59[答案钢缆AC的长度为1000米]
2.构造直角三角形求坡高和坡宽例5 [宿迁中考]如图4-4-60是某通道的侧面示意图,已知AB∥CD∥EF,AM∥BC∥DE,AB=CD=EF,∠AMF=90°,∠BAM=30°,AB=6m.1求FM的长;2连接AF,若sin∠FAM=,求AM的长.图4-4-60[答案19m 218m]例3考查了解直角三角形的应用——方位角,解题的关键是添加辅助线,将三角形分割为含特殊角的直角三角形.例4,例5主要考查解直角三角形的应用,解题的关键是构造直角三角形.此类问题容易出错的地方是构造不出直角三角形.活动四课堂总结反思【当堂训练】
1.教材P129练习中的T1,T
2.
2.教材P129习题
4.4中的T1,T
2. 当堂检测,及时反馈学习效果.【知识网络】提纲挈领,重点突出.【教学反思】
①[授课流程反思]用来源于学生比较熟悉的实际问题吸引他们的注意力,激发他们的好奇心,体会数学来源于生活并服务于生活,诱发学生对新知识的渴求.教师在新课引入时借助多媒体展示河堤的相关图片,边讲解边观看,最后落入到探究坡度、坡角等问题上.
②[讲授效果反思]新课进行中主要有两个环节一是师生共同探究简单的、单一的坡度、坡角、坡长和坡高之间的关系;二是以近年的中考题为例展示坡度、坡角、方位角的应用.通过四道不同类型、不同角度的例题展示,学生对这类问题会有比较全面的认识.
③[师生互动反思]______________________________________________________________________________________
④[习题反思]好题题号_____________________________________错题题号____________________________________反思,更进一步提升.。