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4.4 解直角三角形的应用第1课时 俯角和仰角问题教学目标【知识与技能】比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.【过程与方法】通过学习进一步掌握解直角三角形的方法.【情感态度】培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.【教学重点】应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.【教学难点】选用恰当的直角三角形,分析解题思路.教学过程
一、情景导入,初步认知海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后,到达该岛的南偏西25°的C处,之后,货轮继续往东航行,你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用.
二、思考探究,获取新知1.某探险者某天到达如图所示的点A处,他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗?分析如图,BD表示点B的海拔,AE表示点A的海拔,AC⊥BD,垂足为点C.先测量出海拔AE,再测出仰角∠BAC,然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC.【归纳结论】当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫作仰角,在水平线下方的角叫作俯角.2.如图,在离上海东方明珠塔底部1000m的A处,用仪器测得塔顶的仰角为25°,仪器距地面高为
1.7m.求上海东方明珠塔的高度.结果精确到1m解在Rt△ABC中,∠BAC=25°,AC=1000m,因此tan25°==∴BC=1000×tan25°≈
466.3m,∴上海东方明珠塔的高度约为
466.3+
1.7=468米.【教学说明】利用实际问题承载数学问题,提高了学生的学习兴趣.教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题,从而解决问题.
三、运用新知,深化理解1.如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200米,从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′,求飞机A到控制点B的距离.精确到1米分析利用正弦可求.解在Rt△ABC中sinB=∴AB==≈4221米答飞机A到控制点B的距离约为4221米.2.热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高结果精确到
0.1m分析在Rt△ABD中,α=30°,AD=
120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD,进而求出BC.解如图,α=30°,β=60°,AD=
120.∵tanα=,tanβ=,∴BD=ADtanα=120×tan30°=120×=40,CD=ADtanβ=120×tan60°=120×=
120.∴BD=BD+CD=40+120=160≈
227.1答这栋高楼约高
277.1m.3.如图,在离树BC12米的A处,用测角仪测得树顶的仰角是30°,测角仪AD高为
1.5米,求树高BC.计算结果可保留根号分析本题是一个直角梯形的问题,可以通过过点D作DE⊥BC于E,把求CB的问题转化求BE的长,从而可以在△BDE中利用三角函数.解过点D作DE⊥BC于E,则四边形DECA是矩形,∴DE=AC=12米.CE=AD=
1.5米.在直角△BED中,∠BDE=30°,tan30°=,∴BE=DE·tan30°=4米.∴BC=BE+CE=4+米.4.广场上有一个充满氢气的气球P,被广告条拽着悬在空中,甲乙二人分别站在E、F处,他们看气球的仰角分别是30°、45°,E点与F点的高度差AB为1米,水平距离CD为5米,FD的高度为
0.5米,请问此气球有多高?结果保留到
0.1米分析由于气球的高度为PA+AB+FD,而AB=1米,FD=
0.5米,故可设PA=h米,根据题意,列出关于h的方程可求解.解设AP=h米,∵∠PFB=45°,∴BF=PB=h+1米,∴EA=BF+CD=h+1+5=h+6米,在Rt△PEA中,PA=AE·tan30°,∴h=h+6tan30°,∴气球的高度约为PA+AB+FD=
8.2+1+
0.5=
9.7米.【教学说明】巩固所学知识.要求学生学会把实际问题转化成数学问题;根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边,本题已知什么,求什么.
四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业教材“习题
4.4”中第
2、
4、5题.教学反思本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题,对于这些问题,一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题,另一方面,针对转化而来的数学问题应选用适当的数学知识加以解决.第2课时 坡度和方位角问题教学目标【知识与技能】1.了解测量中坡度、坡角的概念;2.掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长的有关实际问题.【过程与方法】通过对例题的学习,使学生能够利用所学知识解决实际问题.【情感态度】进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.【教学重点】能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长有关的实际问题.【教学难点】能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长的有关实际问题.教学过程
一、情景导入,初步认知如图所示,斜坡AB和斜坡A1B1,哪一个倾斜程度比较大?显然,斜坡A1B1的倾斜程度比较大,说明∠A1>∠A.从图形可以看出,>,即tanA1>tanA.【教学说明】通过实际问题的引入,提高学生学习的兴趣.
二、思考探究,获取新知1.坡度的概念,坡度与坡角的关系.如上图,这是一张水库拦水坝的横断面的设计图,坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度或坡比,记作i,即i=,坡度通常用l∶m的形式,例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角,记作α.从三角函数的概念可以知道,坡度与坡角的关系是i=tanB,显然,坡度越大,坡角越大,坡面就越陡.2.如图,一山坡的坡度为i=1∶2,小刚从山脚A出发,沿山坡向上走了240米到达点C,这座山坡的坡角是多少度?小刚上升了多少米?角度精确到
0.01°,长度精确到
0.1米3.如图,一艘船以40km/h的速度向正东航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上,继续航行1h到达B处,这时测得灯塔C在北偏东30°方向上,已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全?【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么,将图形中的信息转化为图形中的已知条件,再分析图形求出问题.学生独立完成.
三、运用新知,深化理解1.如图,在山坡上种树,要求株距相邻两树间的水平距离是
5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少精确到
0.1m.分析引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形.解已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=
5.5,∠A=24°,求AB.在Rt△ABC中,cosA=,∴AB==≈
6.0米.答斜坡上相邻两树间的坡面距离约是
6.0米.2.同学们,如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决如图水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶
2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长精确到
0.1m.解作BE⊥AD,CF⊥AD,在Rt△ABE和Rt△CDF中,=,=∴AE=3BE=3×23=69m.FD=
2.5CF=
2.5×23=
57.5m.∴AD=AE+EF+FD=69+6+
57.5=
132.5m.因为斜坡AB的坡度i=tanα=≈
0.3333,所以α≈18°26′.∵=sinα,∴AB==≈
72.7m.答斜坡AB的坡角α约为18°26′,坝底宽AD为
132.5米,斜坡AB的长约为
72.7米.3.庞亮和李强相约周六去登山,庞亮从北坡山脚C处出发,以24米/分钟的速度攀登,同时,李强从南坡山脚B处出发.如图,已知小山北坡的坡度i=1∶,山坡长为240米,南坡的坡角是45°.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A?将山路AB、AC看成线段,结果保留根号解过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ADC中,由i=1∶得tanC==,∴∠C=30°.∴AD=AC=×240=120米.在Rt△ABD中,∠B=45°,∴AB=AD=120米.120÷240÷24=120÷10=12米/分钟答李强以12米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A.4.某公园有一滑梯,横截面如图所示,AB表示楼梯,BC表示平台,CD表示滑道.若点E,F均在线段AD上,四边形BCEF是矩形,且sin∠BAF=,BF=3米,BC=1米,CD=6米.求1∠D的度数;2线段AE的长.解1∵四边形BCEF是矩形,∴∠BFE=∠CEF=90°,CE=BF,BC=FE,∴∠BFA=∠CED=90°,∵CE=BF,BF=3米,∴CE=3米,∵CD=6米,∠CED=90°,∴∠D=30°.2∵sin∠BAF=,∴=,∵BF=3米,∴AB=米,∴AF==米,∴AE=米.5.日本福岛发生核电站事故后,我国国家海洋局高度关注事态发展,紧急调集海上巡逻的海检船,在相关海域进行现场监测与海水采样,针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估.如图,上午9时,海检船位于A处,观测到某港口城市P位于海检船的北偏西
67.5°方向,海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶,下午2时海检船到达B处,这时观察到城市P位于海检船的南偏西
36.9°方向,求此时海检船所在B处与城市P的距离.参考数据sin
36.9°≈,tan
36.9°≈,sin
67.5°≈,tan
67.5°≈分析过点P作PC⊥AB,构造直角三角形,设PC=x海里,用含有x的式子表示AC,BC的值,从而求出x的值,再根据三角函数值求出BP的值即可解答.解过点P作PC⊥AB,垂足为C,设PC=x海里.在Rt△APC中,∵tanA=,∴AC==在Rt△PCB中,∵tanB=,∴BC==∵从上午9时到下午2时要经过五个小时,∴AC+BC=AB=21×5,∴+=21×5,解得x=
60.∵sin∠B=,∴PB===60×=100海里∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里.【教学说明】通过练习,巩固本节课所学内容.
四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业教材“习题
4.1”中第
1、
6、7题.教学反思通过本节课的学习,使学生知道坡度、坡角的概念,能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题,特别是与梯形有关的实际问题,懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.复习与提升教学目标【知识与技能】1.了解锐角三角函数的概念,熟记30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值.2.能够正确地使用计算器,由已知锐角的度数求出它的三角函数值,由已知三角函数值求出相应的锐角的度数.3.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想.【情感态度】通过解直角三角形的学习,体会数学在解决实际问题中的作用.【教学重点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.【教学难点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.教学过程
一、知识结构【教学说明】引导学生回顾本章知识点,使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.
二、释疑解惑,加深理解1.正弦的概念在直角三角形中,我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦.记作sinα,即sinα=.2.余弦的概念在直角三角形中,我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦.记作cosα.即cosα=.3.正切的概念在直角三角形中,我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切.记作tanα,即tanα=4.特殊角的三角函数值 三角函数α sinαcosαtanα30°45°160°
5.三角函数的概念我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数.6.解直角三角形的概念在直角三角形中,利用已知元素求其余未知元素的过程,叫作解直角三角形.7.仰角、俯角的概念当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫作仰角,在水平线下方的角叫作俯角.8.坡度的概念坡面的铅垂线高度与水平前进的距离的比叫作坡度或坡比;记作i,坡度通常用l∶m的形式;坡面与水平面的夹角叫作坡角,记作α.坡度越大,坡角越大,坡面就越陡.【教学说明】引导学生回忆本章所学的有关概念,知识点.加深学生的印象.
三、运用新知,深化理解1.已知,如图,D是△ABC中BC边的中点,∠BAD=90°,tanB=,求sin∠DAC.解过D作DE∥AB交AC于E,则∠ADE=∠BAD=90°,由tanB=,得=,设AD=2k,AB=3k,∵D是△ABC中BC边的中点,∴DE=k∴在Rt△ADE中,AE=k,∴sin∠DAC===.2.计算tan230°+cos230°-sin245°tan45°解原式=2+2-2×1=+-=3.如图所示,菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=,则下列结论正确的个数为
①DE=3cm;
②BE=1cm;
③菱形的面积为15cm2;
④BD=2cm.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个分析由菱形的周长为20cm知菱形边长是5cm.在Rt△ADE中,∵AD=5cm,sinA=,∴DE=AD·sinA=5×=3cm.∴AE==4cm.∴BE=AB-AE=5-4=1cm.菱形的面积为AB·DE=5×3=15cm2.在Rt△DEB中,BD===cm.综上所述
①②③正确.【答案】C4.如图所示,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离结果保留根号.分析由题意知,在△ABP中∠A=60°,∠B=45°,∠APB=75°联想到两个三角板拼成的三角形.因此很自然作PC⊥AB交AB于C.解过点P作PC⊥AB,垂足为C,则∠APC=30°,∠BPC=45°,AP=80,在Rt△APC中,cos∠APC=.∴PC=PA·cos∠APC=40,在Rt△PCB中,cos∠BPC=,∴PB===40∴当轮船位于灯塔P南偏东45°方向时,轮船与灯塔P的距离是40海里.【教学说明】通过上面的解题分析,再对整个学习过程进行总结,能够促进理解,提高认知水平,从而促进数学观点的形成和发展.
四、复习训练,巩固提高1.如图,△ABC是等边三角形,P是∠ABC的平分线BD上一点,PE⊥AB于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为 A.2 B.2 C.3 D.3分析∵△ABC是等边三角形,点P是∠ABC的平分线上一点,∴∠EBP=∠QBF=30°,∵BF=2,FQ⊥BP,∴BQ=BF·cos30°==.∵FQ是BP的垂直平分线,∴BP=2BQ=
2.在Rt△BEP中,∵∠EBP=30°,∴PE=BP=.【答案】C2.如图,为了测量某山AB的高度,小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°,然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点,在D点测得山顶A的仰角为30°,求山AB的高度.参考数据≈
1.73解过D作DE⊥BC于E,作DF⊥AB于F,设AB=x,在Rt△DEC中,∠DCE=30°,CD=100,∴DE=20,CE=
50.在Rt△ABC中,∠ACB=45°,∴BC=x.则AF=AB-BF=AB-DE=x-50,DF=BE=BC+CE=x+
50.在Rt△AFD中,∠ADF=30°,tan30°=,∴=.∴x=503+≈
236.
6.答山AB的高度约为
236.6米.3.如图,小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度,在C处测得∠ADG=30°,在E处测得∠AFG=60°,CE=8米,仪器高度CD=
1.5米,求这棵树AB的高度结果保留两位有效数字,≈
1.732.解根据题意得四边形DCEF、DCBG是矩形,∴GB=EF=CD=
1.5米,DF=CE=8米.设AG=x米,GF=y米,在Rt△AFG中,tan∠AFG=tan60°===,在Rt△ADG中,tan∠ADG=tan30°===,二者联立,解得x=4,y=
4.∴AG=4米,FG=4米.∴AB=AG+GB=4+
1.5≈
8.4米.∴这棵树AB的高度约为
8.4米.
五、师生互动,课堂小结师生共同总结,对于本章的知识.你掌握了多少?还存在哪些疑惑?同学之间可以相互交流.课后作业布置作业教材“复习题4”中第
1、
3、
6、
8、
12、14题.教学反思根据学生掌握的情况,对掌握不够好的知识点、题型多加练习、讲解.力争更多的学生学好本章内容.。