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第二十二章
22.
1.1二次函数知识点1:二次函数的概念
1.一个函数是二次函数的条件: 判断一个函数是否为二次函数应该紧扣二次函数的概念进行比较.1含有自变量的代数式是整式;2化简后自变量的最高次数为2;3二次项系数不能为
0. 注意二次函数解析式中abc是常数a必须不为0否则就变成函数y=bx+c若b≠0y=bx+c就成了一次函数;若b=0则y=c是常函数.
2.二次函数的解析式:y=ax2+bx+cabc是常数a≠0是二次函数的一般形式.任何一个二次函数的解析式都可以转化为y=ax2+bx+cabc是常数a≠0的形式.知识点2:实际问题中二次函数解析式的确定
1.列函数解析式的步骤:1审清题意找出实际问题中的已知量、未知量将文字、图形语言转化为数学符号语言;2找出等量关系;3列出函数解析式:设出表示变量的字母把等量关系用含字母的式子替换.
2.几种常见的二次函数关系:1面积、体积的一些计算公式在特定的情况下可以看成二次函数解析式.如:在圆的面积公式S=πr2中半径与圆的面积的关系满足二次函数关系;周长一定时矩形的面积与其中一边长的关系满足二次函数关系;2在特定情况下销售利润与售价的关系;3在特定情况下银行存款本息和与年利率的关系;4在特定情况下总量与增长率降低率的关系;5在特定情况下一些物理化学公式也满足二次函数关系.知识点3:实际问题中二次函数的自变量的取值范围一般地二次函数y=ax2+bx+ca≠0的自变量x的取值范围是全体实数但在实际问题中二次函数由于受到实际条件的限制自变量的取值范围往往不是全体实数.考点1二次函数的判定【例1】 当m取何值时函数y=m+1 -2x+1是关于x的二次函数解:根据二次函数的概念得解m2-m=2得m1=-1m2=2解m+1≠0得m≠-1∴m=
2.∴当m=2时这个函数是二次函数其解析式是y=3x2-2x+
1.点拨由二次函数的概念可知二次函数必须具备三个条件:1含有自变量的代数式是整式;2化简后自变量的最高次数是2;3二次项系数不为
0.考点2二次函数自变量取值范围的确定【例2】 已知长方形窗户的周长为6m写出窗户面积ym2与窗户的一边长xm之间的函数解析式并写出自变量x的取值范围.解:由题意得:y=x3-x=-x2+3x其中自变量x的取值范围是0x
3.点拨由长方形窗户的周长为6m窗户的一边长为xm可知与这一边相邻的另一边长为3-xm利用长方形的面积公式可得y=x3-x=-x2+3x.由题意知x03-x0所以0x
3.考点3几何问题中二次函数解析式的确定【例3】 如图在梯形ABCD中AD∥BCAB=DC=AD∠C=60°AE⊥BD于点EF是CD的中点DG是梯形ABCD的高.1求证:四边形AEFD是平行四边形;2设AE=x四边形DEGF的面积为y求y关于x的函数解析式. 1证明:∵AB=DC∴梯形ABCD为等腰梯形.∵∠C=60°∴∠BAD=∠ADC=120°又∵AB=AD∴∠ABD=∠ADB=30°.∴∠DBC=∠ADB=30°.∴∠BDC=90°.∵AE⊥BD∴AE∥DC.又∵AE为等腰三角形ABD的高∴E是BD的中点.∵F是DC的中点∴EF∥BC.∴EF∥AD.∴四边形AEFD是平行四边形.2解:在Rt△AED中∠ADB=30°∵AE=x∴AD=2x.在Rt△DGC中∠C=60°并且DC=AD=2x∴DG=x.由1知:在平行四边形AEFD中EF=AD=2x又∵DG⊥BC∴DG⊥EF∴四边形DEGF的面积=EF·DG∴y=×2x·x=x2x
0.点拨1要证明四边形AEFD是平行四边形需利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即证AE∥DC且EF∥AD;2易证四边形DEGF的面积=EF·DG根据题意求得EFDG的长列出函数解析式即可.。